"哈尔滨工业大学通信工程专业2007年考研复试专业课试题，涵盖数字信号处理相关知识，包括填空题和选择题，涉及滤波器设计、快速傅里叶变换(FFT)、系统稳定性、序列Z变换、双线性变换等内容。"
本文将深入解析这份考研试题中的关键知识点，帮助理解和掌握通信工程领域的基础概念。
1. **窗函数法设计FIR滤波器**：窗函数法是设计FIR滤波器的一种常见方法，窗函数不仅影响滤波器的阻带衰减，还影响过渡带宽度和主瓣宽度，从而影响滤波器的分辨率和选择性。
2. **频率转换**：模拟信号到数字信号转换时，需考虑奈奎斯特采样定理，确保无失真。题目中提到的模拟通带截止频率25kHz，转换为数字指标后，数字通带截止角频率为π×25kHz/250kHz=πkHz。
3. **FFT运算次数**：N点基2时域抽选输入倒序输出顺序FFT（也称作Rader-Brenner算法）的复数乘法次数为Nlog2N。对于N=2的幂次，这是FFT最优化的算法之一。
4. **频谱分辨率**：基2快速傅里叶变换（FFT）用于频谱分析时，分辨两个频率成分至少需要2倍于两者频率差的数据点数。因此，分辨50kHz和50.1kHz的频率，至少需要1000个数据点。
5. **系统稳定性**：离散线性移不变系统稳定性的判断标准是其单位冲激响应h(n)的绝对值必须随n的增大趋于零，即所有极点都在Z平面上的单位圆内。
6. **线性相位FIR滤波器**：长度为N的线性相位FIR滤波器的单位冲激响应h(n)关于中心点(n-N/2)对称，对于偶数长度N，h(n)是实数且奇对称；对于奇数长度N，h(n)是实数且偶对称。
7. **Z变换**：序列x(n)=δ(n)-δ(n-1)的Z变换是X(z)=1/(1-z^-1)，其中δ(n)是单位阶跃序列。
8. **双线性变换**：双线性变换是将模拟滤波器转换为数字滤波器的方法，对于给定的模拟系统函数H(s)，在C=1的情况下，转换公式通常为H(z)=H(s(i*s+1))/(1-i*s)，这里的s由Z变换的z=iω代入得到。
9. **DFT的性质**：N点DFT是Z变换在单位圆上的N点等间隔抽样，第一抽样点位于Z=1，即ω=2π/N。
10. **线性卷积与周期卷积**：两个有限长序列的线性卷积可以通过周期卷积实现，最小周期等于两序列长度之和减1，所以N1+N2-1=20+30-1=49。
选择题部分涉及到的内容包括：
1. **FFT计算线性卷积**：使用基2 FFT计算线性卷积，需要取序列长度的最大公约数的2的幂次，即64。
2. **系统稳定性条件**：因果稳定的系统其Z变换的极点应在单位圆内。
3. **DFT的频率间隔**：DFT计算的频率间隔是采样频率除以DFT点数，所以为4Hz。
4. **理想低通滤波器**：它是因果系统且稳定系统。
这些知识点体现了数字信号处理的基础，包括滤波器设计、采样理论、系统稳定性分析、傅里叶变换应用以及序列操作等，这些都是通信工程专业学生需要掌握的核心内容。
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