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5、模型的建立与求解
5.1 CT 系统信息重建模型的建立
5.1.1 二维 CT 系统的原理
二维 CT 系统利用 X 射线扫描待测物体不同厚度的层面,X 射线经过固定
不动的二维待测物体时会被吸收衰减,且经过物体的厚度越大,X 射线被衰减
吸收的能量越多,透过物体后的 X 射线的能量也就越低。因此当透过二维待测
物体的 X 射线到达探测器时,由探测器接收到的射线能量也就不同。多次测量
后,将收集到的光信号经过处理器转换输入计算机后就得到接收信息,即为附
录 2 中的数据。
CT 系统共有 512 个等距单元的探测器,题目中将每个探测器简化为一个个
接收点,本文在求解 X 射线穿过二维待测物体时相应地需要将每一束 X 射线看
作没有宽度、初始强度相同的理想化射线。
CT 系统扫描得到的接收信息经过计算机处理后形成图像,将待测物体选定
的层面分成若干个等面积的正方形,称之为像素。附件 1 中每一个数据即为对
应位置像素的吸收率。根据附件 1 中的数据可知,均匀固体介质组成的标定模
板各个位置的吸收率均为 1,其他位置没有物体,则对应像素的吸收率为 0。
查阅相关文献,可知通过 CT 系统重建的吸收率分布反映待测物体内部的
结构信息。根据 Lambert-Beers 定理可知
[1]
式中 I 为出射 X 射线强度,
为入射 X 射线强度,u 为标定模版的吸收
率,dl 为 X 射线在模板内的路径微元。根据公式可知,探测器接收到的 X 射线
强度由入射 X 射线强度、标定模板的吸收率和 X 射线经过标定模板的路径共同
决定。对于同一个介质吸收率连续分布的模板,一束 X 射线向其照射,探测器
接收到的 X 射线强度由模板的吸收率 u 在路径 l 上的积分决定。
根据公式(1)可得
公式右端
可以从 CT 系统测量数据得到。对于二维 CT 系统而言,
扫描得到的影像的性质能够反映被测物体的吸收率 u(x,y)。
根据吸收率 u 在二维平面上的几何分布即可得出被测物体的大小、性状和
位置,根据物体上不同位置的 u 的大小能够得到物体本身的密度等性质。CT 系
统就是通过探测器接收信息与物体吸收率的关系,获取物体内部的结构信息。
根据公式(2),当被检测物体是由均匀固体介质组成时,物体所有物理性质
在不同坐标位置的值均相同,则吸收率 u 为常数,则接收信息的大小与 X 射线
在物体内经过路径大小 l 之间是简单的线性关系。