随机过程习题解析：马尔可夫链应用

"随机过程资料上海大学" 这篇资料主要涉及的是随机过程中的一个重要概念——马尔可夫链。马尔可夫链（Markov chain）是一种数学模型，用于描述一个系统随时间演变的行为，其特点在于当前状态只依赖于上一状态，而与它之前的状态无关。这种性质被称为“无后效性”或“马尔可夫性质”。 在描述的具体问题中，首先给出了一个比赛场景，甲乙两人进行比赛，每局比赛有三种结果：甲胜、乙胜或平局。甲乙获胜的概率分别为[pic]和[pic]，平局概率为[pic]。比赛规则是先得2分的人赢得比赛。题目要求确定在这种情况下，甲获得特定分数的概率。 (1) 状态空间被定义为所有可能的得分组合，即甲的分数可以是0、1或2，因此状态空间为[pic]。 (2) 一步转移概率矩阵表示从一个状态到另一个状态的概率。例如，从甲得1分的状态转移到甲得2分的状态的概率，即甲在下一局赢了比赛。 (3) 计算在甲已经得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率，需要用到两步转移概率矩阵，即连续两次从状态1转移到状态2的概率。 接下来，资料提到了独立随机变量序列的问题： (1) 对于独立随机变量序列[pic]，如果它们满足马尔可夫性质，即当前随机变量的分布只取决于前一个随机变量，那么这个序列就是马尔可夫链。根据题目中的条件，可以证明[pic]是马尔可夫链。 (2) 接着考虑[pic]，它是[pic]的函数。如果[pic]是[pic]的函数，那么[pic]也是马尔可夫链，因为每个[pic]只依赖于前一个[pic]，而不是整个历史。 最后，资料探讨了记录值和记录之间时间的马尔可夫性质： (1) 设[pic]是记录值，根据题目中的描述和马尔可夫性质，可以证明[pic]是一个马尔可夫链，并且计算出相应的转移概率。 (2) [pic]表示第[pic]个与第[pic]记录之间的间隔时间，由题目中的独立性和马尔可夫性质，可以证明[pic]也是一个马尔可夫链，并计算出它的转移概率。 通过这些具体的例子，学习者可以深入理解马尔可夫链的概念以及如何应用在实际问题中，如比赛结果预测、独立随机变量序列分析和记录出现时间的统计特性等。这份上海大学的随机过程资料提供了丰富的练习题，有助于巩固理论知识并提高解决实际问题的能力。