医学图像重建：中心切片定理与傅里叶变换在MPI中的应用

"中心切片定理是医学图像重建，特别是CT扫描中的核心概念，它在傅里叶变换的框架下建立了投影数据与原始二维图像之间的关系。该定理表明，二维函数f(x, y)的投影p(s)的傅里叶变换P(ω)与函数f(x, y)的二维傅里叶变换F(ωx, ωy)沿与探测器平行且过原点的切片相等。这一理论为解析重建算法提供了理论基础，使得从有限的投影数据中恢复物体内部结构成为可能。在实际应用中，例如X光CT、SPECT、PET和MRI等医学成像技术，中心切片定理被用来处理和重建二维和三维的图像数据。此外，书中还涵盖了各种重建算法，包括解析方法和迭代方法，并探讨了如何处理截断的投影数据、ROI重建、锥形束滤波反投影算法以及极度欠采样数据的重建问题。" 中心切片定理，又称为投影切片定理或傅里叶中心切片定理，是断层成像技术，尤其是计算体层摄影（CT）中的基本理论。该定理揭示了二维函数的傅里叶变换与其投影数据的傅里叶变换之间的联系。在CT扫描中，通过探测器收集到的是物体不同角度的投影信息，这些投影数据经过傅里叶变换后，可以得到与物体的二维傅里叶变换相关的频率信息。中心切片定理指出，如果将二维傅里叶变换在频率空间中沿与探测器排列方向的某一特定直线（通常是最中心的直线，即过原点的直线）切取，得到的切片与原始投影数据的傅里叶变换相同。 这一理论的实用价值在于，它为从有限的投影数据恢复物体的二维图像提供了一个途径。在图像重建过程中，可以利用中心切片定理将投影数据转换到频率域，然后通过对频率域的数据进行处理，再逆傅里叶变换回空间域，从而重构出物体的二维图像。这种方法简化了重建过程，也使得解析算法（如滤波反投影法）得以实现。 在实际的医学成像系统中，由于物理限制和成本考虑，往往只能获取部分投影数据，因此需要采用各种算法来处理这些不完整的数据。书中的内容还涵盖了多种图像重建算法，包括解析算法和迭代算法，以应对不同情况下的数据处理需求。例如，对于截断的投影数据，可以通过特定的算法来提高重建图像的质量；Katsevich的锥形束滤波反投影算法解决了非平行束投影的问题，提高了锥形束CT的重建效果；对于极度欠采样的数据，利用l0极小化方法可以寻找最稀疏的解，从而尽可能地还原真实的图像信息。 这本书是医学图像重建的入门读物，旨在向读者介绍经典和现代的重建方法，并结合实例和直观的解释来阐述复杂的理论。作者希望通过这种方式，使读者能够更容易地理解和掌握这一领域的知识，而不必面对过于繁复的数学推导。书中的内容不仅适用于CT，还涵盖了SPECT、PET和MRI等多种医学成像技术，为研究者和从业者提供了全面的参考。