线性最小二乘问题与矩阵分解

"该资源是关于数值分析课程的第七章——曲线拟合与线性最小二乘问题。主要内容包括线性最小二乘问题的一般提法、最小二乘多项式拟合的应用实例，并涉及到秩为r的矩阵的特殊分解形式。" 在数值分析中，线性最小二乘问题是一个广泛研究的课题，它涉及到通过找到一组系数来拟合一组数据，使得数据点到由这些系数决定的模型函数的残差平方和最小。在实际应用中，例如在曲线拟合中，我们常常需要对给出的数据表找到一个近似函数，这个近似函数通常是某个函数族中的线性组合。 定理7.3.1阐述了秩为r的矩阵可以分解为正交矩阵的形式。这个定理对于解决最小二乘问题至关重要，因为这种分解可以帮助我们有效地求解问题。当矩阵的秩r小于其列数n时，存在无限多组解，此时方程组是欠定的；而当矩阵的秩等于行数m时，即m=n，存在唯一解，这是多项式插值的情况。 最小二乘问题的一般形式为：给定一组数据点 (x_1, f_1), (x_2, f_2), ..., (x_m, f_m)，我们寻找一组系数α_1, α_2, ..., α_n，使得误差向量r（即实际观测值f与模型函数值Fx的差）的2-范数最小。误差向量r定义为r = f - Fx，其中F是包含基础函数的矩阵，x是自变量向量，α是系数向量。最小化2-范数的目标函数可以写作：min ||r||^2。 具体到多项式拟合，我们希望找到一个n次多项式P(x; α) = α_1 * 1 + α_2 * x + ... + α_n * x^n，使得P(x_i; α)尽可能接近于f_i。将多项式展开并代入数据点，可以构建一个超定线性系统Ax=b，其中A是包含各个x_i的幂的矩阵，b是f的向量。求解最小二乘问题的解α，即找到满足条件||b - Ax||^2最小的α，这被称为方程组的最小二乘解。 举一个实例，比如纤维强度与拉伸倍数的关系，可以通过最小二乘多项式拟合找到一个数学模型来描述两者之间的关系，即使这个模型不通过所有数据点，但能较好地反映出数据的基本趋势。这样的拟合方法在工程、物理、经济学等多个领域都有广泛应用。 本章节深入探讨了如何利用线性最小二乘方法解决实际问题，特别是通过正交矩阵分解来优化求解过程，同时给出了具体的实例来帮助理解这一概念。