Lebesgue测度不为0：可数有理数集合的探讨

"一个Lebesgue测度不为0的可数集合" 在实变函数论和泛函分析领域，通常有一个基本定理指出，R中的有限集合和可数集的Lebesgue测度为0。然而，这一定理并不总是适用，特别是当涉及到某些特定的可数集合时。王小舟在文章中提出了一个反例，即在闭区间[0,1]内的全体有理数集合Y的Lebesgue测度不为0。 首先，我们来理解Lebesgue测度的概念。Lebesgue测度是实数轴上的一种度量方式，它扩展了经典的长度概念，能够更准确地衡量无限集合的“大小”。对于一般的集合，尤其是那些无限且不可数的集合，Lebesgue测度提供了更全面的分析工具。 王小舟的命题是：闭区间[0,1]中的全体有理数集合Y的Lebesgue测度m(Y)大于0。证明这个命题的关键在于展示无法找到一个覆盖Y的开区间序列，其长度之和小于任意小的正数，因为这正是Lebesgue测度为0的定义。 证明过程如下： 1. 假设W = [0,1] - Y是不包含有理数的开区间集合，如果W为空，那么[0,1]中每个点都是有理数，这与有理数是稠密的事实矛盾，所以W不为空。 2. 如果W是非空的，根据有理数的稠密性，W中必含有无穷多个开区间。这些开区间可以构成一个覆盖Y的开区间序列A_n。由于Y是有理数集合，它被这些开区间完全覆盖。 3. 接着，考虑W的并集，即所有A_n的并集。如果W的并集等于[0,1]，那么它的测度必然大于0，因为[0,1]的测度是1。 4. 如果W的并集不等于[0,1]，则存在一个非空的开集W，它不包含任何有理数。根据Cantor的构造定理，W可以被分解为至多可数个互不相交的构成区间B_n。 5. 这些B_n的并集仍然覆盖了Y，因此W的补集，即[0,1] - W，是一个包含所有有理数的闭集。由于闭集的聚点属于自身，W的聚点也都在W中，我们可以将W中的点分为两部分：有理数和无理数。 通过以上步骤，无论哪种情况，我们都无法找到一个开区间序列，其长度之和小于任意正数，从而证明了Y的Lebesgue测度m(Y)大于0。 这个例子揭示了Lebesgue测度的微妙之处，即虽然大多数可数集合的测度为0，但并非所有可数集合都是如此。有理数集合就是一个特殊的例子，它的测度不为0，展示了Lebesgue测度在处理可数集合时的非平凡性质。这个结果对于理解实变函数论和泛函分析中的测度理论至关重要，因为它提醒我们在处理这类问题时需要特别注意集合的结构和性质。