Floyd算法正确性解析：逐步揭示最短路径秘密

"这篇文章主要介绍了Floyd算法的正确性，它是解决图论中最短路径问题的一种动态规划方法，但不适用于包含负权边的图。Floyd算法通过迭代的方式不断更新图中所有点对之间的最短路径。" Floyd算法，也称为Floyd-Warshall算法，是解决图中所有顶点对最短路径的经典算法之一。它基于动态规划（Dynamic Programming, DP）思想，主要用于处理无向图或有向图中不存在负权边的情况。如果图中存在负权边，则Floyd可能会陷入无穷循环，因为它无法正确处理负权环导致的最短路径无限减小的问题。 算法的核心在于状态转移方程，可以表示为：`dp[k][i][j] = min{dp[k-1][i][j], dp[k-1][i][k] + dp[k-1][k][j]}`。这里的`i`, `j`代表图中的节点，`k`表示考虑路径是否经过节点`k`。在每次迭代中，算法遍历所有节点`k`，然后通过两层循环更新`i`到`j`的最短路径。如果`i`到`j`的最短路径需要经过`k`，则更新`dp[i][j]`为`dp[i][k] + dp[k][j]`，否则保持原样。 Floyd算法的C++实现通常如下所示： ```cpp void Floyd() { for (int k = 1; k <= n; k++) { for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]); } } } } ``` 在这个过程中，算法逐步扩展已知的最短路径。初始时，每个顶点与其直接相邻的顶点之间的最短路径是它们之间的边权重。随着`k`的增加，算法逐渐探索更远的路径，通过枚举所有可能的中间节点`k`，寻找`i`到`j`的新最短路径。 在每次迭代`k`时，所有的点对`i`和`j`都被检查一次，试图找到只包含当前节点`k`的`i`到`j`路径。尽管某些点对可能通过复杂的路径相连，但由于遍历了所有可能的`k`，总会有一组`i`和`j`的路径只包含`k`，从而使得状态转移方程能够找到这组路径并更新最短路径信息。 Floyd算法正确性在于其递增地构建最短路径信息，通过穷举所有可能的中间节点来确保找到所有顶点对的最短路径，只要图中不存在负权边。然而，对于存在负权边的图，Floyd算法可能无法得出正确的结果，因为负权边可能导致最短路径在迭代过程中不断缩短，从而无法收敛。