半离散5阶非线性KdV方程的全局吸引子分析

"这篇论文是2015年发表在《西南大学学报(自然科学版)》第37卷第3期的一篇自然科学类论文，主要探讨了半离散5阶非线性KdV方程在具有周期边界条件下的长时间行为。作者通过Crank-Nicolson格式对原方程进行离散化处理，并证明了在H^5空间内存在一个紧致的全局吸引子。" 在数学和物理学领域，非线性KdV（Korteweg-de Vries）方程是一种非常重要的偏微分方程，它在1895年由Korteweg和de Vries提出，用于描述波的传播现象，如水面波、声波等。5阶非线性KdV方程是KdV方程的扩展形式，其复杂性和应用范围更为广泛。本文关注的是在无界区域R上的5阶非线性KdV型方程，该方程具有周期边界条件，这意味着解在空间域上是周期性的。 研究内容中，作者首先利用Crank-Nicolson格式对方程进行时间离散化。这是一种常用的有限差分方法，它结合了前进欧拉法和中心差分，具有较高的数值稳定性。通过这种方法，可以将连续时间问题转化为离散时间序列问题，便于后续分析。 随后，作者着重证明了离散后的方程在H^5（高阶Sobolev空间）上存在全局吸引子。全局吸引子是动力系统理论中的一个重要概念，它代表了一个系统的所有可能状态随着时间推移都将趋向的一个特定集合。证明全局吸引子的存在意味着无论初始条件如何，系统的长期行为都将被吸引到这个特定的集合中，从而揭示了解的长时间行为规律。 论文中提到了其他相关研究，包括对阻尼KdV-KsV方程、弱阻尼广义KdV方程、带有噪声的耗散KdV型方程以及Schrodinger、Kawahara和KdV等非线性方程的全局吸引子的研究。这些工作都反映了非线性动力系统理论的广泛兴趣和深入探索。 这篇论文通过创新的方法展示了如何在5阶非线性KdV方程中找到全局吸引子，这对理解这类方程的动态行为和物理现象有着重要的理论意义。此外，使用Crank-Nicolson格式的离散化策略为处理类似非线性问题提供了新的途径。