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在导数 dy/dt 大的地方,图形里的斜率很大,通俗的说就是曲线很陡峭;而导数很小的地
方,对应的曲线就很平缓。 在这个例子里,身高 y 是随着年龄 t 变化而变化,也就是说给
定任何一个 t 的值,都有一个 y 的值跟它对应,我们就可以说身高 y 是一个关于年龄 t 的函
数(function),记做 y=f(t)。这个 f 自然就是函数的英文单词 function 的缩写,函数就
是这样一种对应(映射)关系。在这里,身高 y 的值只跟年龄 t 一个变量相关,我们就说这
是一个一元函数。但是,如果我们的问题稍微复杂一些,我的某个量不止跟一个量有关,而
是跟多个量有关呢?
04 多个变量的偏导数
比如山的高度,一座山在不同点的高度是不一样的,而在地面上确定一个点的位置需要经度
和纬度两个信息。或者,你可以自己在地面上建立一个坐标系,然后地面上每一个点都可以
用(x,y)来表示。因为每一个位置(x,y)都对应了那个地方山的高度 z,那么 z 就成了一
个关于 x 和 y 的函数,记做 z=f(x,y)。因为山的高度 z 需要两个变量 x 和 y 才能确定,所
以我们说 z=f(x,y)是一个二元函数。 再例如,我房间的每一个点都有一个温度,所以房间
的温度 T 是一个关于房间内空间点的函数,而房间里每一个点的位置需要长宽高三个变量
(x,y,z)才能确定。所以,我房间里的温度 T 是一个关于 x,y,z 的三元函数,记做
T=f(x,y,z)。 我们再来回过头来看看导数,在一元函数 y=f(t)里,我们用 dy/dt 来表示这
个函数的导数,导数越大的地方曲线变化得越快。因为一元函数的图像是一条曲线,曲线上