紧度量空间中交换映射的公共不动点定理

"该文章是1984年发表在《西南师范大学学报》上的一篇自然科学论文，作者杨亚东，主要研究了紧度量空间中压缩型交换映射的不动点定理，旨在推广之前文献中的结果。文章涉及的内容包括度量空间、自映射、不动点、非紧致度以及迭代序列的收敛性。" 本文探讨的核心概念是交换映射的不动点定理，这是拓扑动力学和泛函分析中的一个重要理论。在数学中，不动点是指一个映射作用在其定义域上保持不变的点，即映射作用于该点后其位置没有变化。不动点定理通常关注于证明在特定条件下，映射是否存在不动点，以及如何找到这些不动点。 在给出的摘要中，作者首先介绍了基本背景，即(X, d)是一个紧度量空间，而S和T是这个空间上的两个自映射，它们是可交换的，意味着S(T(x)) = T(S(x))对于所有x ∈ X成立。紧度量空间是一个重要的概念，它保证了空间的完备性和一些良好的拓扑性质。 作者提出了两个存在性定理，涉及到压缩型映射的公共不动点。压缩型映射是指映射在某个度量下使得任意集合的直径缩小的映射。这两个定理的条件是映射S和T满足一定的迭代和距离收缩条件，例如，如果d(S^p(x), T^q(x))小于某个与距离相关的量，那么存在公共不动点。 引理(3)是一个关键的中间结果，它描述了一个具有唯一不动点的连续映射G的性质，特别是其迭代序列的收敛性和局部性质。这一引理为证明不动点定理提供了工具。 定理1是文章的主要贡献，它指出在满足一定迭代条件的紧度量空间中，交换映射S和T有唯一的公共不动点。这一定理不仅扩展了先前文献中的结果，还给出了迭代序列的收敛性以及与度量相关的误差估计。 此外，非紧致度α(A)是一个度量空间中衡量集合非紧性的度量，它在这里用于讨论映射的性质。非紧致度的存在使得研究者能够处理那些不满足传统紧性条件的集合。 这篇论文深入研究了紧度量空间中交换映射的不动点问题，通过建立新的定理，为理解和应用这类映射提供了理论基础。这些结果对于理解动态系统、优化算法、几何拓扑等领域都有重要意义。