在"函数基本逼近(二)——最佳逼近"这篇复习资料中,主要涵盖了信息与计算科学专业的数值计算方法相关内容。文章首先介绍了函数逼近的基本概念,包括基本定理的复习,如克拉默法则,以及内积的几何意义,它是通过向量长度和角度来计算的。理解内积的重要性在于它帮助我们找到正交多项式,这是在最佳平方逼近中寻求稳定求解策略的关键。正交多项式的选择是因为它们的行列式易于处理,形成对角矩阵,使得线性方程组的求解变得简单。 文章进一步探讨了为何需要权函数,其目的是将一般的基转化为正交基,以便于后续的计算。解决线性方程组的方法被提及,包括多元函数关系模型的求解,以及神经网络和机器学习在处理多参数数学问题中的应用。在内积空间的背景下,法方程组的概念得以介绍,它是基于内积空间定义下的线性方程组。 最佳一致逼近多项式的概念是围绕误差最小化,特别是距离最小化的整体逼近过程展开的。这部分还讨论了线性赋范空间的定义,以及范数和距离的导出,以及按范数收敛的相关理论。最佳一致逼近多项式的性质和特性,如交错点的存在、下界估计、唯一性等,都得到了详尽的阐述。Remes算法作为一种逐次逼近方法,用于实际问题的求解。 切比雪夫多项式作为最小偏差为0的多项式,具有特定的定义、性质和应用,例如在代数插值多项式余项极小化和近似多项式项数减少方面的作用。内积空间的定义被扩展到了n维欧氏空间,权函数与内积空间的关系,以及连续函数在内积空间中的地位,都是重要内容。 最佳逼近元素,尤其是法方程组和广义傅里叶展开,是最佳逼近理论的核心部分,它们的存在性和唯一性得到证明。正交基的存在性与关键公式,如法方程组和广义傅里叶展开,是最佳逼近的基石。最佳平方逼近中,重点介绍了正交基的选择,如Lerendre多项式和Chebyshev多项式的应用,以及这些正交多项式在连续型逼近中的优势,如简单、非病态求解以及避免线性方程组的复杂性。 最后,该文档还提到了正交多项式在逼近问题中的重要作用,它们在广义Fourier级数中的应用,以及在近似Chebyshev逼近中的具体实践。这是一份全面而深入的复习资料,适用于信息与计算科学专业的学生进行期末考试前的准备。
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