分数阶微分方程与Fokker-Planck方程解的研究

"这篇文章主要探讨了分数阶微分方程的基本解和分数阶Fokker-Planck方程的解，作者使用了尺度不变方法和Biller变换进行研究。" 分数阶微分方程（Fractional Differential Equations, FDEs）是数学中的一个重要分支，它扩展了传统整数阶微分方程的概念，引入了非整数阶导数，从而更好地描述了现实世界中非局部和记忆效应的现象。在物理、工程、化学和金融等领域有广泛的应用。 文章中提到了时空分数阶微分方程，这类方程同时涉及到时间分数阶和空间分数阶导数，它们的解通常涉及特殊的函数，如Mittag-Leffler函数或Laplace变换。作者通过尺度不变方法得到了这类方程的基本解，即格林函数，这是一种特殊解，可以用来构建出所有可能解的线性组合。 Fokker-Planck方程是一种描述随机过程概率分布演化的偏微分方程，常见于物理学和生物学的研究中，尤其是布朗运动和扩散过程。时间分数阶的Fokker-Planck方程则考虑了非马尔科夫过程，其中系统的状态依赖于其过去的演化历史。文章利用Biller变换处理了3D空间和时间分数阶的Fokker-Planck方程，揭示了其解在不同参数下的行为。 Biller变换是一种偏微分方程求解技巧，它可以将复杂的偏微分方程转换为一组一阶常微分方程，从而简化求解过程。在这里，它被用于将分数阶Fokker-Planck方程转化为更容易处理的形式，以便分析其基本解。 此外，文章还模拟了不同分数阶值和偏斜度对解的影响，这有助于理解分数阶微分方程的特性及其在实际问题中的应用。作者的工作对于深入理解和应用分数阶微分方程以及Fokker-Planck方程在复杂系统中的动力学行为具有重要意义。 关键词涉及了多个数学和应用领域，如分数阶微积分（26A33）、积分方程（45K05）、概率论（60J60、60G50、60G51）、数值分析（65N06）以及广义函数理论（42A38）。文章遵循CC BY-NC-ND许可证，允许非商业性的复制和分发，但不允许对内容进行修改。 这篇原创文章深入研究了分数阶微分方程和Fokker-Planck方程的解析解，提供了一种新的求解方法，对理论研究和实际应用都具有参考价值。