空间角求解：向量方法解析

"该文档是2021年针对福建地区理科学生的高考一轮复习资料，主题为‘利用向量方法求空间角’，旨在帮助学生掌握空间几何中关于空间角的概念，包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的计算，以及相关的向量求解方法。文档中包含了自主梳理和自我检测两部分，旨在巩固和检验学习成果。" 在空间几何中，向量方法是一种强大的工具，用于求解各种空间角。以下是文档中涉及的知识点详解： 1. **异面直线的夹角**： - 定义：如果两条直线a和b不能在同一个平面上，那么可以通过在直线a上找到一条与b平行的直线a'，a'与a之间的夹角即为a与b的夹角。 - 取值范围：异面直线夹角θ的范围是0°到90°之间。 - 向量求法：设a和b为异面直线的方向向量，它们的夹角为φ，则两向量的点积除以它们的模长之积等于夹角的余弦值，即cosθ= <a, b> / (|a| * |b|)。 2. **直线与平面的夹角**： - 定义：直线l与平面的夹角是指l与其在平面内的投影之间的夹角。 - 取值范围：夹角θ的范围是0°到90°之间。 - 向量求法：若直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，它们的夹角为φ，那么直线与平面夹角的正弦值等于向量a与u的夹角的正弦值，即sinθ=sinφ，或者通过余弦值表示cosθ=sinφ。 3. **二面角**： - 取值范围：二面角的大小范围是0°到180°。 - 向量求法： - 方法一：如果AB和CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，那么它们的方向向量的夹角即为二面角的大小。 - 方法二：二面角的两个面α和β的法向量n1和n2的夹角（或其补角）是二面角的平面角的大小。 自我检测部分提供了练习题目，帮助学生检验对这些概念的理解程度，例如判断两平面的夹角、两条直线的关系，以及直线与平面的夹角等。 学习这部分内容时，关键在于理解空间角的定义，熟悉其取值范围，并掌握如何利用向量的方法进行计算。通过实际操作和练习，可以更好地掌握空间几何中的转化思想和数形结合思想，提升解决空间几何问题的能力。