图算法解析：贪心算法与最短路径

"这些讲义来自Kevin Wayne，讨论了贪心算法在图论中的应用，包括迪杰斯特拉算法、最小生成树问题以及单源最短路径问题等。" 在图论和算法设计中，贪心算法是一种常用的方法，它通过每一步选择局部最优解来试图找到全局最优解。讲义中提到了以下几个重要的概念和算法： 1. **迪杰斯特拉算法(Dijkstra's Algorithm)**：这是一个用于解决单源最短路径问题的算法，适用于有权重的加权图。它通过维护一个优先队列（通常是二叉堆），逐步更新从源节点到其他节点的最短路径。每次从队列中取出距离源节点最近的节点，并更新其邻居节点的最短路径。 2. **最小生成树(Minimum Spanning Tree)**：在加权无向图中，寻找一个边的集合，这个集合构成了一棵树，连接了图中的所有节点，且总权重最小。有三种常见的算法用于构建最小生成树： - **普里姆(Prim)**：从一个节点开始，每次添加一条与已选节点集连接且权重最小的边。 - **克鲁斯卡尔(Kruskal)**：首先按边的权重排序，然后依次添加不形成环的边。 - **博鲁瓦卡(Boruvka)**：每个节点作为一个子树，多次迭代，每次将两个子树通过最小边连接起来，直到所有节点都在同一棵树上。 3. **单链聚类(Single-link Clustering)**：在聚类分析中，这是一种基于距离的算法，它将最近的两个对象或聚类合并，直到满足某个停止条件。在图中，这可能表现为不断连接最近的节点，形成一个连通的组件。 4. **最小费用树(min-cost arborescence)**：类似于最小生成树，但适用于有向图，其中边可能带有负权重。目标是找到一棵树形结构，包含所有节点，且边的总费用最小。 讲义还提到了一个问题：改变图中每条边的长度后，哪些情况能确保原来的最短路径仍然是新的图中的最短路径。这个问题涉及图的结构变化对最短路径的影响。答案通常取决于变化的具体方式。 对于问题中给出的选项，如果增加每条边的长度（选项A），最短路径的总长度会增加，因此原有的最短路径不再是新的最短路径。另一方面，如果乘以一个常数（选项B），只要这个常数不为负，最短路径仍然是原来的最短路径，因为所有的路径都相对于彼此按照相同的比例增长。然而，如果常数为负，边的权重可能变得负值，导致最短路径算法的行为发生改变，原有的最短路径不一定保持不变。