数字信号处理第二章习题详解：傅里叶变换与解题策略

"数字信号处理（程佩清）第二章习题答案，涵盖了傅里叶变换的计算与应用，包括序列傅里叶变换、傅里叶反变换、线性时不变系统频率响应以及序列的周期延拓等核心概念。" 在数字信号处理领域，傅里叶变换是一种至关重要的工具，用于将时域信号转换到频域，以便分析信号的频率成分。本章节的习题主要围绕以下几个知识点展开： 1. 傅里叶变换的计算：题目中通过不同的序列组合，如(x[n])和(y[n])，求解它们的傅里叶变换。例如，(X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-jn\omega})，并利用线性性质和卷积性质来简化计算。对于序列 (x[n]) 的傅里叶变换，可以通过替换变量或直接应用傅里叶变换公式来解决。 2. 傅里叶反变换：习题中涉及到求解给定的傅里叶变换的原序列，这需要利用傅里叶反变换的公式 (x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{jn\omega}d\omega)。例如，给定一个变换，要求解其原序列，可以通过积分来实现。 3. 线性时不变系统：这部分习题讨论了线性时不变系统(LTI)的频率响应，即系统的传输函数。若单位脉冲响应(h[n])为实序列，输入信号为复指数序列(e^{jn\omega})时，输出序列仍为复指数序列，但幅度和相位由频率响应决定。证明了输出可以表示为输入乘以系统频率响应的复共轭。 4. 序列的周期延拓：序列的傅里叶级数和傅里叶变换在周期延拓后会发生变化。通过周期延拓，序列变为周期序列，其傅里叶级数和变换可以用离散傅里叶级数(DFT)和离散傅里叶变换(DFT)来表示。画出波形有助于理解序列的周期性和其在频域的表示。 5. 序列运算的傅里叶变换：题目展示了如何通过傅里叶变换进行序列的加法、乘法以及卷积运算。例如，给定一个序列的傅里叶变换，可以求解其他相关序列的傅里叶变换，如X(e^{j\omega}) + Y(e^{j\omega}) 或 X(e^{j\omega}) \cdot Y(e^{j\omega})。 6. 特定函数的傅里叶变换性质：对于实偶函数和实奇函数，其傅里叶变换具有特定的对称性。实偶函数的傅里叶变换是实函数且具有共轭对称性，而实奇函数的傅里叶变换在频域中表现为零平均值的奇函数。 通过这些习题，学习者能够深入理解和熟练运用傅里叶变换，这对于理解和处理数字信号至关重要。同时，这些习题解答提供了一个良好的学习参考，帮助巩固理论知识并提升实际问题解决能力。