福州大学数学课：极限与连续性原理

"复习第二章(1).pptx - 福州大学数学与计算机学院" 本资料主要涵盖了第二章“极限与连续”的数学概念，以及第三章的一些基础定理，包括实数基本定理、闭区间上连续函数的性质。以下是详细的知识点： 1. **确界存在定理**：在实数集上，任何有界的数列都有其上确界和下确界，并且这两个确界都是实数。这是实数完备性的体现。 2. **单调有界数列收敛定理**：如果一个数列是单调且有界的，那么该数列一定收敛。这意味着无论是单调递增还是单调递减，只要同时满足有界条件，数列都会有极限。 3. **致密性定理（魏尔斯特拉斯定理）**：在实数集内，任何无处稠密的开集都是空集。这表明实数集是致密的，即除了无理数和有理数之间的点外，不存在其他“空隙”。 4. **闭区间套定理**：如果一序列闭区间彼此包含，且长度趋于零，那么这些闭区间的交集非空且仅包含一个点。这个定理在分析学中用于证明某些点的存在性。 5. **Cauchy收敛原理**：如果数列的任意子列都满足Cauchy准则，即对于任意正数ε，都存在正整数N，使得当m, n > N时，|xn - xm| < ε，那么原数列是收敛的。这是判定数列是否收敛的一个重要准则。 6. **有限覆盖原理**：在有限维空间中，存在有限个开球覆盖任何集合。这是拓扑学中的Bolzano-Weierstrass定理的一个特殊情况。 7. **单调有界函数的性质**： - (1) 一个函数在其定义域内的所有不连续点都是第一类不连续点，即不连续是由跳跃或可去不连续性引起的。 - (2) 如果函数在区间[a, b]上可以在f(a)与f(b)之间取到所有值，那么函数在[a, b]上是连续的。 8. **数列极限的定义和性质**： - 数列是由无穷多个数按特定顺序排列形成的序列。 - 数列的极限定义了当项无限增加时，数列趋向的稳定值。如果对于任意给出的正数ε，都能找到一个N，使得当n>N时，数列的第n项与极限之间的差小于ε，那么数列收敛于该极限。 - 无穷小量是极限为零的数列，不能简单理解为非常小的量。 - 数列极限的性质包括： - 保序性：如果数列A和B都收敛，且A≤B，那么A的极限≤B的极限。 - 唯一性：一个数列的极限是唯一的，如果存在两个不同的极限，那么原来的数列不会收敛。 - 夹逼性（squeeze theorem）：如果三个数列A, B, C满足A≤B≤C，且A和C都收敛于同一个数L，那么B也收敛于L。 9. **推论**： - 推论1（保序性）：如果一个数列的子数列都收敛，且它们的极限都相同，那么原数列也收敛于那个相同的极限。 - 推论2（保号性）：如果一个收敛数列的所有项都大于（或小于）某个常数c，那么其极限也大于（或小于）c。 - 推论3（保号性）：如果一个数列的两个子数列分别收敛于a和b，且a≤b，那么原数列的极限也在a和b之间。 10. **夹逼性的重要应用**：不仅可以用来判断数列极限是否存在，还可以用作求解数列极限的有效工具。 这些概念是高等数学的基础，对于理解和应用微积分、实分析等领域至关重要。掌握这些知识点有助于深入理解函数行为、数列的收敛性和连续性的本质。