福州大学数学课:极限与连续性原理
"复习第二章(1).pptx - 福州大学数学与计算机学院" 本资料主要涵盖了第二章“极限与连续”的数学概念,以及第三章的一些基础定理,包括实数基本定理、闭区间上连续函数的性质。以下是详细的知识点: 1. **确界存在定理**:在实数集上,任何有界的数列都有其上确界和下确界,并且这两个确界都是实数。这是实数完备性的体现。 2. **单调有界数列收敛定理**:如果一个数列是单调且有界的,那么该数列一定收敛。这意味着无论是单调递增还是单调递减,只要同时满足有界条件,数列都会有极限。 3. **致密性定理(魏尔斯特拉斯定理)**:在实数集内,任何无处稠密的开集都是空集。这表明实数集是致密的,即除了无理数和有理数之间的点外,不存在其他“空隙”。 4. **闭区间套定理**:如果一序列闭区间彼此包含,且长度趋于零,那么这些闭区间的交集非空且仅包含一个点。这个定理在分析学中用于证明某些点的存在性。 5. **Cauchy收敛原理**:如果数列的任意子列都满足Cauchy准则,即对于任意正数ε,都存在正整数N,使得当m, n > N时,|xn - xm| < ε,那么原数列是收敛的。这是判定数列是否收敛的一个重要准则。 6. **有限覆盖原理**:在有限维空间中,存在有限个开球覆盖任何集合。这是拓扑学中的Bolzano-Weierstrass定理的一个特殊情况。 7. **单调有界函数的性质**: - (1) 一个函数在其定义域内的所有不连续点都是第一类不连续点,即不连续是由跳跃或可去不连续性引起的。 - (2) 如果函数在区间[a, b]上可以在f(a)与f(b)之间取到所有值,那么函数在[a, b]上是连续的。 8. **数列极限的定义和性质**: - 数列是由无穷多个数按特定顺序排列形成的序列。 - 数列的极限定义了当项无限增加时,数列趋向的稳定值。如果对于任意给出的正数ε,都能找到一个N,使得当n>N时,数列的第n项与极限之间的差小于ε,那么数列收敛于该极限。 - 无穷小量是极限为零的数列,不能简单理解为非常小的量。 - 数列极限的性质包括: - 保序性:如果数列A和B都收敛,且A≤B,那么A的极限≤B的极限。 - 唯一性:一个数列的极限是唯一的,如果存在两个不同的极限,那么原来的数列不会收敛。 - 夹逼性(squeeze theorem):如果三个数列A, B, C满足A≤B≤C,且A和C都收敛于同一个数L,那么B也收敛于L。 9. **推论**: - 推论1(保序性):如果一个数列的子数列都收敛,且它们的极限都相同,那么原数列也收敛于那个相同的极限。 - 推论2(保号性):如果一个收敛数列的所有项都大于(或小于)某个常数c,那么其极限也大于(或小于)c。 - 推论3(保号性):如果一个数列的两个子数列分别收敛于a和b,且a≤b,那么原数列的极限也在a和b之间。 10. **夹逼性的重要应用**:不仅可以用来判断数列极限是否存在,还可以用作求解数列极限的有效工具。 这些概念是高等数学的基础,对于理解和应用微积分、实分析等领域至关重要。掌握这些知识点有助于深入理解函数行为、数列的收敛性和连续性的本质。
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://profile-avatar.csdnimg.cn/default.jpg!1)
- 粉丝: 0
- 资源: 1
我的内容管理 展开
我的资源 快来上传第一个资源
我的收益
登录查看自己的收益我的积分 登录查看自己的积分
我的C币 登录后查看C币余额
我的收藏
我的下载
下载帮助
![](https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/voice.245cc511.png)
最新资源
- 解决Eclipse配置与导入Java工程常见问题
- 真空发生器:工作原理与抽吸性能分析
- 爱立信RBS6201开站流程详解
- 电脑开机声音解析:故障诊断指南
- JAVA实现贪吃蛇游戏
- 模糊神经网络实现与自学习能力探索
- PID型模糊神经网络控制器设计与学习算法
- 模糊神经网络在自适应PID控制器中的应用
- C++实现的学生成绩管理系统设计
- 802.1D STP 实现与优化:二层交换机中的生成树协议
- 解决Windows无法完成SD卡格式化的九种方法
- 软件测试方法:Beta与Alpha测试详解
- 软件测试周期详解:从需求分析到维护测试
- CMMI模型详解:软件企业能力提升的关键
- 移动Web开发框架选择:jQueryMobile、jQTouch、SenchaTouch对比
- Java程序设计试题与复习指南
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20220527035711.png)
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20220527035111.png)
![](https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/green-success.6a4acb44.png)