康奈尔大学CS6820：二分图匹配算法分析

"康奈尔大学的CS6820算法分析课程讲义，专注于二分图匹配算法，这是2016年秋季学期的课程资料。讲义深入探讨了如何解决二分图最大匹配问题，包括朴素算法和Hopcroft-Karp算法，同时也涉及到图算法理论和增广路径等相关概念。" 在计算机科学中，算法分析是理解和评估算法效率的关键部分。这篇讲义主要关注的是二分图的最大匹配问题，这是一个重要的优化问题，广泛应用在网络配对、市场匹配等多个领域。二分图是由两个不相交的顶点集U和V组成，边连接这两个顶点集的无向图。 首先，讲义定义了匹配的基本概念：在无向图中，匹配是一组边，其中任意两个边都不共享同一顶点。在二分图中，最大匹配问题就是要找到这样的匹配，其包含的边数最多。通常，这个问题的输入是邻接表形式的二分图，其中二分划分（U和V）也是给定的。 讲义中还提到，如果二分图的划分未给出，可以从邻接表中在线性时间内构造。这提示了我们，即使没有直接给出二分划分，我们也可以通过图的结构分析来确定。 接下来，讲义引入了增广路径的概念，这是求解最大匹配问题的关键工具。增广路径是相对于当前匹配M的交替路径，起点和终点都是未匹配的顶点，即自由顶点。这样的路径可以用来增加匹配的大小。通过引理1，我们可以知道，如果我们找到一条增广路径P，将匹配M与P的边进行交换（即M⊕P），可以得到一个新的匹配，其大小比M多一条边。 Hopcroft-Karp算法就是利用这个性质，通过广搜和最短路径算法的结合，能够在O(m√n)的时间复杂度内找到最大匹配，显著优于朴素的O(mn)算法。这种算法设计体现了图算法中的深度优先搜索和宽度优先搜索的巧妙结合，以及如何通过增广路径来逐步优化解决方案。 此外，讲义还包括了一些练习题目，帮助学生加深对概念的理解，但这些练习并不作为正式的作业或评分项目。通过解决这些练习，学生可以检验自己对二分图匹配和相关理论的掌握程度。 总结来说，康奈尔 CS6820 的算法分析讲义提供了一套系统性的方法来研究和解决二分图最大匹配问题，对于理解和应用图论及算法设计具有很高的价值。无论是对于初学者还是高级研究者，这份资源都能提供深入的洞见和实践指导。