正交变换后因子贡献：因子分析详解与实例

变换后因子贡献-因子分析法原理及其实例分析 因子分析是一种统计学方法，用于简化大量变量间复杂的关系，通过探索观测数据的内在结构，将众多可观察的显性变量（如24个评价指标）转化为少数几个不可观测的潜在变量，即因子。这些因子能捕捉到原始数据的主要信息。在企业形象或品牌形象研究中，比如评价百货商场的环境、服务和价格，即使存在众多具体指标，因子分析能提取出反映这些核心概念的公共因子。 数学模型上，假设我们有p个变量，每个变量可以表示为 \( X_i = \sum_{j=1}^{m} a_{ij}F_j + \varepsilon_i \)，其中 \( X_i \) 是第i个变量，\( F_j \) 是第j个因子，\( a_{ij} \) 是变量和因子的载荷系数，\( \varepsilon_i \) 是随机误差项。通过正交变换矩阵 \( \Gamma \)，进行变量重构，使得数据更加简洁，且因子贡献会随着变换而发生变化。 关键区别在于，因子分析与回归分析不同，后者强调因子具有实际解释；与主成分分析相比，主成分分析是变量的线性组合，而因子分析则涉及到构建因子模型，即潜在变量和随机效应变量的线性组合。变换后的因子贡献反映了变量之间更深层次的关联和结构。 在实施因子分析时，通常需要计算因子载荷矩阵、因子得分和旋转（如正交旋转或最大方差旋转），以便更好地理解和解释因子。实际操作中，可能需要通过软件工具如SPSS或R语言进行计算，然后分析因子负荷矩阵，理解每个因子与哪些原始变量关联最紧密，以及它们对整体数据解释的贡献。 总结来说，变换后因子贡献在因子分析中是一个重要的概念，它揭示了通过变量变换后，因子对整体数据结构的影响程度，这对于数据挖掘和理论模型构建有着实际应用价值。在处理大规模多变量问题时，理解并利用好变换后因子贡献，可以帮助我们提炼出关键信息，减少数据维度，提高分析效率。