数值积分与微分：离散点计算的求积与微分方法

数值分析第七章主要探讨了数值积分与数值微分这一核心主题，它在实际问题解决中扮演着重要角色，尤其当函数的解析表达式不可得或者难以求其原函数时。本章节首先概述了数值积分的基本概念，包括求积节点（用于积分的离散点）、求积系数（决定积分近似值的权重）、误差或余项（衡量积分的精度）以及代数精度（表示积分公式随节点数量增加逼近原积分的精度速度）。 章节的核心内容包括： 1. 插值型求积公式：这是通过函数在n+1个离散点上的值构造积分近似方法。插值型求积公式的一个重要特性是，如果其一般形式符合插值性质，那么它至少具有n次代数精度。公式的具体形式涉及多项式插值和特定的权重函数，如梯形公式、Simpson公式（也称为抛物线公式）和Cotes公式，它们是基于等距节点的。 - 梯形公式（对于奇数阶）是基础，适用于对简单函数的近似。 - Simpson公式（偶数阶）以其高精度著称，具有二次代数精度，特别适合于光滑曲线下的面积近似。 - Cotes公式是一系列求积规则，随着节点数量的增加，可以提供不同阶的精度。 2. 复化求积公式：针对高次插值型求积公式可能的数值不稳定问题，提出了一种改进方法，通过将积分区间划分为多个子区间，每个子区间内应用低阶求积公式，然后合并结果，这种方法被称为复化求积。例如，复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式。 3. Romberg求积公式和T数表：为了解决复化求积中步长选择的问题，Romberg公式提供了一种自适应的方法，逐步提高精度，尽管它的代数精度通常是n次的。T数表则是一种预计算的表格，用于快速找到合适的求积步骤和精度。 4. Gauss型求积公式：为了进一步提高精度，尤其是达到高阶代数精度，Gauss型求积公式引入了高斯节点，这是一种在理论上可以达到任意精度的理想节点分布，但在实际应用中可能需要计算成本增加。 本章详细介绍了从基础到进阶的数值积分技术，不仅涵盖了理论分析，还涉及到了实际应用中的技巧和策略，为理解和处理实际问题中的积分问题提供了坚实的数学基础。