线性最小二乘问题与曲线拟合解析

"这篇资料是关于数值分析课程的Chapter-7，主要讲解了曲线拟合与线性最小二乘问题。内容涉及线性最小二乘问题的一般提法，残差向量的概念，以及如何寻找使残差向量2-范数最小的参数。此外，还介绍了当数据点和函数项数相等时的多项式插值问题，以及超定方程组的最小二乘解。资料中给出了一个实例，展示了如何对纤维强度与拉伸倍数的关系进行最小二乘多项式拟合。" 在数值分析中，线性最小二乘问题是一个非常重要的概念，通常出现在数据处理和模型构建的场景。该问题旨在找到一组常数，使得由这些常数组成的近似函数与实际观测数据之间的误差（残差）的2-范数最小。这里的误差是函数值与数据点的实际值之间的差异，通常表示为残差向量。 线性最小二乘问题的一般形式是：对于给定的m个数据点 (x_1, f_1), (x_2, f_2), ..., (x_m, f_m)，我们希望找到一组系数α_1, α_2, ..., α_n，使得这些系数构成的线性组合接近于这些点，即使得残差向量r = f - F(α)的2-范数最小，其中f是实际观测值，F(α)是由系数α构成的近似函数。 当函数族是多项式，比如多项式插值时，如果数据点的数量m等于多项式的阶数n，那么存在唯一解，即多项式插值。这个情况下的最小二乘问题可以转化为求解矩阵方程Ax = b的最小二乘解，其中A是Vandermonde矩阵，x是待求的系数向量，b是观测值向量的列向量。 在超定系统中，即m > n，即数据点多于函数项，不存在精确解，但可以找到一个最小化误差的解，这称为最小二乘解。最小二乘解可以通过正规方程或者数值方法如QR分解来求解。 实际应用中，曲线拟合是用来描述一组数据的趋势或模式，而不是要求拟合的曲线恰好穿过每个数据点。例如，在纤维强度与拉伸倍数的例子中，我们可能希望通过一个数学模型来表示这两者之间的关系，而最小二乘法可以帮助我们找到最佳的拟合曲线，即使它不会穿过所有数据点，但能最好地反映出数据的整体趋势。 这篇课件内容涵盖了线性最小二乘问题的基础理论和应用，包括多项式拟合、残差分析以及超定系统的解决方案，对于理解和解决实际数据分析中的拟合问题具有指导意义。