Hilbert空间中膨胀算子的研究：1981年吴智泉的贡献

"Hilbert空间中有界线性算子的膨胀 (1981年) - 数学研究与评论 第1期 - 吴智泉" 本文主要探讨了Hilbert空间中一个重要的概念——有界线性算子的膨胀（dilation），这是由Sz.-Nagy引入的理论，对于深入研究算子具有重要意义，特别是在分析压缩算子的不变子空间问题上。文章的焦点在于给出一个有界线性算子在Hilbert空间中是另一个有界线性算子的膨胀的充要条件。 首先，作者定义了膨胀的概念：如果一个有界线性算子B在更大的Hilbert空间中，能够通过正交投影P将操作限制在某个闭子空间M上，并且对于任意正整数n和M中的元素h，满足关系A^n h = P^n B^n h，那么B被认为是A的膨胀。这里的A和B分别作用于闭子空间M和整个Hilbert空间。 文章的核心是定理1，该定理指出，算子B是算子A的膨胀的充要条件是存在另一个在M上的有界线性算子C，满足两个条件： 1. C^n ι_m = 0，对于所有的n = 1, 2, 3, ... 2. B = A P^n + C，其中P^n是从整个空间到闭子空间M的正交投影。 为了证明这个定理，作者采用了逐步推导的方法。必要性证明中，作者假设B是A的膨胀，然后构造了一个算子C，使得B可以表示为A和C的组合。对于充分性，作者展示了如果C满足给定条件，则B确实可以作为A的膨胀。 此外，文章还提到了恰当膨胀和拟恰当膨胀的概念，以及它们与压缩算子的保范膨胀和西膨胀的关系。当讨论的是压缩算子时，恰当膨胀和拟恰当膨胀分别对应于极小保范膨胀和极小商膨胀。 作者还指出，虽然本文中的一些结果在之前已经存在，但通过采用新的陈述方式和证明方法，可能会更有利于理解和掌握这些理论。所有计算和证明均在复Hilbert空间的框架下进行，遵循了参考文献[1]和[2]中的符号约定。 这篇文章深入研究了Hilbert空间中有界线性算子的膨胀性质，提供了理解和应用这一理论的关键工具，对于理解算子理论尤其是压缩算子的性质具有重要价值。