数值积分的逼近方法：插值与Newton-Cotes、Gauss-Legendre求积公式对比

本文是一篇深入探讨数值积分计算方法的论文，主要关注于插值积分法、Newton-Cotes公式和Gauss-Legendre公式。作者首先回顾了插值积分的基础理论，即通过构造简单函数p(x)来近似原函数f(x)，进而求得积分的近似值。插值原理在此过程中起着关键作用，特别是Lagrange插值用于构建求积公式。 在论文的第二部分，作者详尽地介绍了Newton-Cotes公式，该公式基于等间距节点的插值。通过对区间[a, b]进行n等分，节点被设定为xk = a + kh，k从0到n。对于这些节点上的Lagrange插值多项式Pn(x)，作者将其替换原函数f(x)，从而形成求积公式。经过代换x = a + th，公式简化为有理多项式积分，其系数只依赖于n。最终得出的求积公式形式为： ∫[a, b] f(x) dx ≈ ∑[pic]，其中[n]是Newton-Cotes系数，表1列出了不同n值下的具体系数。 接下来，论文转向了Gauss-Legendre公式，这是另一个重要的数值积分方法。Gauss-Legendre公式在精度上通常优于Newton-Cotes公式，特别是在n相同的条件下，它提供了更高的代数精度。尽管如此，两者在精度上的表现仍有微小差别，这表明在实际应用中，选择哪种公式取决于具体问题的需求和精度要求。 通过编写Matlab程序，论文作者使用quad和guass函数实现了这两种方法，并对比它们在特定问题上的结果。研究发现，Gauss-Legendre公式在求解数值积分时提供了更稳定的精度优势，尤其是在需要高精度解的情况下。 这篇论文不仅阐述了数值积分的理论基础，还通过实例展示了如何运用插值积分法、Newton-Cotes公式和Gauss-Legendre公式进行计算，并分析了它们在精度方面的优劣。这对于理解和实践数值积分方法的学生和研究人员来说，是一份有价值的参考资料。