非线性最小二乘法在非线性回归中的应用

"本章介绍了非线性回归与门限回归的概念，重点讲解了非线性最小二乘法（Nonlinear Least Squares, NLS）在处理非线性回归模型中的应用。" 非线性回归是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。当数据不遵循简单的线性模式时，非线性回归模型能够提供更精确的预测。在第25章中，作者特别提到了非线性最小二乘法作为处理这类问题的工具。 非线性最小二乘法（NLS）适用于那些无法通过简单的变量转换转化为线性形式的非线性回归模型。模型可以表示为 \( y_i = g(x_i, \beta) + \varepsilon_i \)，其中 \( g(\cdot) \) 是依赖于参数 \( \beta \) 的非线性函数，\( x_i \) 是自变量，\( \varepsilon_i \) 是误差项。如果 \( g(\cdot) \) 可以写成 \( x_i \beta \) 的形式，那么我们回到了经典的线性回归模型。 在NLS中，我们寻找参数 \( \hat{\beta} \) 的值，使得残差平方和（Sum of Squared Residuals, SSR）最小化。残差定义为 \( e_i = y_i - g(x_i, \hat{\beta}) \)。最小化SSR的一阶条件要求残差的梯度为零，这导致了一个非线性方程组。在大多数情况下，这个方程组没有解析解，需要使用数值方法如牛顿-拉夫森法来迭代求解。 例如，书中给出了一个包含三个参数的非线性模型 \( y_i = \beta_1 + \beta_2 e^{x_i} + \beta_3 x_i^3 + \varepsilon_i \)。这个模型有三个未知参数 \( \beta_1, \beta_2, \beta_3 \)。使用NLS估计时，我们会找到使残差平方和最小化的 \( \hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2, \hat{\beta}_3 \) 的值，并满足相应的非线性方程组的一阶条件。 NLS估计量的一个关键性质是残差 \( e_i \) 与 \( \frac{\partial g}{\partial \beta} \) 正交，而不是与自变量 \( x_i \) 正交，这与线性回归的情况不同。这种方法允许我们处理复杂的非线性关系，但可能需要更复杂的计算来找到最优解。 门限回归是另一种处理非线性问题的方法，尤其适用于存在截断或分类响应变量的情况。门限回归模型考虑了因变量的某个特定阈值，使得模型的结构在阈值两侧有所不同。不过，这个概念在提供的摘要中并未详细展开讨论。 非线性回归与门限回归是统计学中处理复杂关系的重要工具，非线性最小二乘法则是估计此类模型参数的有效方法。在实际应用中，理解和掌握这些技术对于准确建模和预测具有重要意义。