CFT中的局部性与共形引导：1/N²阶 bulk 操作符构造
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更新于2024-07-16
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本文主要探讨的是局部性和共形不变理论(CFT)中的一个重要概念——"局部批量操作符"在第二阶$1/N^2$精度下的构造。作者Daniel Kabat和Gilad Lifschitz来自美国Lehman College和以色列University of Haifa，他们在量子场论领域合作，专注于复杂度较高的CFT分析。
在CFT中，四点函数并不完全由共形不变性所决定，这为批量操作符的形式提供了不确定性。为了处理这种灵活性，作者利用了 Operator Product Expansion (OPE)，这是一种基本的工具，它允许在邻近区域的场之间展开，以揭示它们之间的关系。通过OPE，他们对可能的批量操作符进行了分类，这有助于理解这些操作符如何在不同的空间尺度上相互作用。
作者利用之前对三维三点函数的研究成果，针对每一个OPE通道构建了一个局部批量操作符。这是关键步骤，因为每个通道对应着一种可能的行为模式，而局部性意味着操作符的行为必须在所有这些通道中保持一致。这就引出了文章的核心概念——"批量启动"或"bulk bootstrap"，即通过强制所有通道上的批量操作符相互匹配，从而定义出一个在CFT背景下全局、一致且符合局部性的批量操作符。
作者强调，批量启动条件是实现真正物理意义的批量操作符的关键，它确保了理论的自洽性和一致性。通过一系列具体的例子，他们不仅理论阐述了这一原则，还展示了如何通过这个条件找到有效的批量操作符表达式。这些实例验证了批量启动的有效性，并且展示了其在实际CFT计算中的应用价值。
这篇论文提供了一种创新的方法，通过共形不变理论和局部性约束，构造了CFT中的批量操作符，对于理解复杂量子系统的动力学行为具有重要意义。同时，它也为后续的理论研究和实证工作开辟了新的路径，尤其是在高能物理和弦理论等领域。
JHEP10(2016)091
The coefficients β
k
appearing in (2.11) are arbitrary and parametrize field red efin i ti ons .
They correspond to a field redefinition
φ(z, x) → φ(z, x) +
1
N
∞
X
k=0
β
k
(∇
2
− m
2
0
)
k
φ
1
φ
2
(z, x) (2.16)
It follows from these results that the bulk operator (
2.10) obeys the equation of motion
(∇
2
− m
2
0
)φ
(
z, x) = λφ
(0)
1
φ
(0)
2
(z, x) +
1
N
∞
X
k=0
β
k
(∇
2
− m
2
0
)
k+1
φ
(0)
1
φ
(0)
2
(z, x) (2.17)
The choice β
k
= 0 corresponds to a minimal cubic vertex in the bulk.
3 A scalar example
We start from a scalar 4-point function
hO(x)O
1
(y
1
)O
2
(y
2
)O
3
(y
3
)i (3.1)
We want to promote O(x) to a bulk operator, so we start as we did in the 3-point function
case by looking at
hKO(z, x)O
1
(y
1
)O
2
(y
2
)O
3
(y
3
)i (3.2)
But unl i ke 3-point functions which are fixed by conformal symmetry, the form of a 4-point
function is not uniquely determined. So we do not have a general understanding of the
properties of (
3.2). Instead the idea will be to use the OPE between two of the other
operators O
i
, O
j
to reduce the 4-point function to an i n fini t e sum of 3-point functions.
In this section we make a simplifying assumption, that in the OPE of any pair of
operators O
i
(y
i
) with O
j
(y
j
) the only primary operators which appear are double-trace
scalars.
2
In the bulk this cor r es ponds to assuming that we only have 4-point contact
interactions. For instance we will assume that as y
2
→ y
3
we get
O
2
(y
2
)O
3
(y
3
) =
X
m
d
(1)
m23
(y
2
−y
3
)(O
2
O
3
)
m
(y
2
)+
X
k
f
(1)
k
(y
2
−y
3
)(OO
1
)
k
(y
2
)+··· (3.3)
In counting powers of N, one has d
(1)
m23
∼ 1 and f
(1)
k
∼ 1/N
2
.
3.1 Scalar example — OPE coefficients
In this subsecti on we assume that the dimensions of the operators are such that
1
2
(∆ + ∆
1
− ∆
2
− ∆
3
) (3.4)
2
We o nly need to worry about primary operators. We do not need to worry about global descendants
in the OPE expansion since they are obtained from the primaries by applying a local differential operator.
If the primaries obey causality then so will the descendants. This is true as long as the correlation function
with the sum of descendants converges. See the discussion at the end of section
3.1.
– 5 –
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