数值分析习题解答与误差分析

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"该文档是李庆扬数值分析第五版的习题答案,由清华大学出版社出版。内容涵盖了数值分析中的误差分析、有效数字、误差限计算以及递推公式计算误差等多个知识点。" 在数值分析中,误差的处理是非常关键的一环。文档首先解释了相对误差的概念,例如,近似值X*的相对误差定义为(X* - X) / |X|,其中X是真实值,X*是其近似值。当考虑函数f(x)的计算时,如果x的相对误差为e,则f(x)的相对误差可以通过函数的条件数Cp来估算。条件数Cp衡量了输入误差与输出误差之间的放大关系。在示例2中,如果x的相对误差为2%,则函数f(x)的近似值Xf的相对误差可以表示为Cp * (0.02 * n),其中n是f(x)的导数。 文档还讨论了有效数字的问题,有效数字是衡量数值精度的指标。例如,在问题3中,给定的近似数1.1021有五位有效数字,因为它从非零数字1开始,到第一个不确定的零(在这种情况下,是第二个零)为止。而0.031只有两位有效数字,因为第一位零不计入有效数字。 在误差限的计算中,问题4利用公式(2.3)求解了不同近似值的误差限。例如,对于X1、X2和X4的组合,误差限可以通过这些数的有效数字和精度来确定。 递推公式的误差传播是数值计算中的另一个重要主题。在问题6中,通过递推公式计算Y00时,假设中间结果有一定的误差,如Y99 = 0.783,而实际值应为0.783279。计算出的Y00与实际值之间的误差限可以用逐次乘积的误差来估计。 最后,问题7涉及求解具有指定精度的方程解。对于方程X^2 - 56x + 1 = 0,要求解的近似值至少具有四位有效数字,这需要使用数值方法(如牛顿法或二分法)并控制迭代过程中的误差,以确保解的精度。 这份文档提供了数值分析中基础但重要的概念,包括误差分析、有效数字的理解以及误差限的计算方法,这些都是进行精确数值计算时必须掌握的关键点。
2023-06-10 上传