结构化矩阵积和式逼近困难性：模p计算的新视角

"该研究探讨了结构化矩阵类中矩阵积和式逼近的计算困难性，特别是涉及齐次矩阵、幂次矩阵、Hankel矩阵和Toeplitz矩阵。文章介绍了积和式的定义，强调了永久在计算理论中的重要性及其固有的计算难度。作者们利用Boneh和Venkatesan在1996年关于隐数问题的工作，结合Waring问题的指数和界限，证明了对于特定结构化矩阵，求模素数p的积和式近似值与精确值的计算同样困难。此外，文中还对比了任意矩阵与结构化矩阵在计算复杂性上的差异，并讨论了随机算法在处理永久式计算时的局限性。" 在计算机科学和数学中，积和式是矩阵理论中的一个重要概念，其在各种应用中都有出现，包括图论、编码理论和量子计算。永久（permanent）是积和式的一种特殊形式，对于矩阵X，永久被定义为所有行和列的排列的乘积之和，它在计算上与行列式类似但不考虑符号变化。永久的计算复杂性非常高，属于NP完全问题，意味着在多项式时间内找到精确解是非常困难的，除非P=NP。 本文的贡献在于扩展了对结构化矩阵积和式逼近的理解，这些矩阵包括了具有特定结构的矩阵，如齐次矩阵（元素为相同阶的多项式）、幂次矩阵（每一行或每一列元素是另一行或一列元素的幂）、Hankel矩阵（任意两行或两列对应元素相等）和Toeplitz矩阵（主对角线两侧的元素对称）。对于这些矩阵，作者们证明了在模p下计算积和式的近似值与计算精确值一样具有挑战性，这是通过将 Boneh和Venkatesan的隐数问题研究成果与Waring问题的指数和界限相结合来实现的。 此外，文章还讨论了随机多项式时间算法在计算永久式上的局限性。Cai等人已经证明，除非PP=BPP，否则随机算法无法准确计算小规模实例的永久式。这意味着，即使在概率计算模型中，解决这个问题也是极其困难的。相比之下，对于非负项矩阵，存在随机多项式时间近似算法，但这种方法并不适用于所有结构化矩阵。 总体而言，这项工作加深了我们对结构化矩阵积和式计算复杂性的认识，揭示了其在理论和实践中的新挑战，为未来的研究提供了新的视角和方法。特别是在密码学、编码理论和算法设计等领域，这样的研究可能会引导出更高效或更安全的计算策略。