马尔可夫信源符号稳态概率与二阶马尔可夫链状态概率计算详解

在《信息论与编码》曹雪虹的课后习题集中，题目涉及到计算接受端的平均不确定度、噪声产生的不确定度以及信道容量，这些问题通常与信息理论中的马尔可夫信源和马尔可夫链有关。首先，我们来看第2.1题： 1. 题目要求绘制一个具有三个符号（1, 2, 3）的马尔可夫信源的状态图，转移概率给出。状态转移矩阵表明了在不同的状态下，符号之间的概率转移关系。通过矩阵，我们可以计算每个状态的稳态概率，即长期来看各个状态被观察到的概率。通过线性代数的方法，如列主元法或迭代算法，可以找到稳态概率，即W1, W2, W3。 2. 第2.2题涉及的是一个二阶马尔可夫链，它由{0, 1}的符号集组成，且具有特定的转移概率。这里的转移概率反映了在两个连续时间步中符号变化的规律。要解决这个问题，我们需要构建一个二维的状态转移矩阵，然后利用平衡方程（如列向量乘以转移矩阵等于自身）来求解稳态概率分布。 在计算接受端的平均不确定度时，这通常涉及到信息熵的概念，即信源发出的信息的不确定性。对于给定的信源，平均不确定度可以通过计算每个符号的熵（-每个符号出现概率的对数乘以其概率）然后求和来得到。在第一个例子中，对于Y的不确定度，我们看到概率分布和对应的对数函数用于计算条件熵，即H(Y|X)。 噪声产生的不确定度（|H(Y)-H(Y|X)|）表示由于信道噪声引入的额外不确定性，这是信道容量计算的一个关键因素。信道容量是信道最大传输速率，不受接收端不确定度的影响，它由香农公式给出，即C = I(X; Y) - H(Y|X)，其中I(X; Y)是信源X和信道输出Y之间的互信息。 对于这两个问题，解题过程可能包括以下步骤： - 确定每个状态的稳态概率分布 - 计算单个符号的不确定度 - 使用概率转移矩阵计算互信息I(X; Y) - 应用香农公式计算信道容量C 总结来说，这些题目展示了信息论中关于马尔可夫源和信道模型的基本概念，涉及概率、状态机、信息熵、互信息和信道容量等核心知识点。通过解决这些问题，学生将深入理解这些概念如何应用于实际通信系统的设计和分析中。