HKUST MATH2011 多变量微积分中期考试：2010年试卷解析

"HKUST MATH2011 Mid term 2010" 这篇资料是香港科技大学（HKUST）数学课程MATH2011的期中考试试卷，这门课程专注于多元微积分，是工程学一年级的核心课程。试卷日期为2010年10月30日，考试时长为1小时，从下午5点到6点，不允许使用计算器。试题共有4个问题，考生需要展示解题过程并为答案提供充分的论证以获取满分。 试题详情如下： 问题1：（30分） (a)（10分）找出经过三个点(1,7,0)，(3,-1,2)和(0,3,3)的平面方程。 (b)（5分）判断点(2,1,2)是否在这个平面上。 (c)（15分）这个平面是否是曲面x^2 + y^2 + z^2 = 9在点(2,1,2)处的切平面？ (a) 题目的解答： 首先，计算向量AB和AC，分别为<2,-8,2>和<-1,-4,3>。然后找到这两个向量的叉积，即法向量n，得到n=<-16,-8,-16>。因此，平面的方程可以通过点法式得出，即n·(x-1,y-7,z-0)=0，简化后得到平面方程2x+y+2z=9。 (b) 题目的解答： 将点(2,1,2)代入平面方程，2(2)+1+2(2)=9，符合方程，所以点(2,1,2)确实位于题目(a)中的平面上。 (c) 题目的解答： 要判断平面是否为曲面的切平面，我们需要考虑曲面的导数。曲面x^2 + y^2 + z^2 = 9是一个三维空间中的球面，其在点(2,1,2)处的切平面需要满足曲面的梯度等于法向量n。曲面的梯度在点(2,1,2)为<4,2,4>，与n=<-16,-8,-16>不平行，因此该平面不是曲面在(2,1,2)的切平面。 通过这个期中考试试卷，我们可以看出MATH2011课程涵盖了平面的方程求解、点与平面的关系以及切平面的概念，这些都是多元微积分的基础内容。同时，它强调了解题过程的展示和逻辑推理的重要性，这是评估学生理解和应用数学概念的关键。