离散时间信号与系统稳定性：数字信号处理中的无限精度与舍入效应

在清华大学程佩青教授的《数字信号处理》第三版课件中，章节一深入探讨了离散时间信号与系统的基础概念。课程强调了信号分类的重要性，将信号分为连续时间信号、离散时间信号和数字信号，其中离散时间信号是通过连续信号的等间隔采样得到的，其基本表示方法包括公式表示、图形表示和集合符号表示。 学习目标中提到，学生需要掌握序列的概念，例如单位抽样序列和单位阶跃序列。单位抽样序列是取值为0和1的简单序列，对于任意n值，其值为0或1，表达式为\( \delta[n] \)。而单位阶跃序列u(n)则是一个从0突变到1的序列，其特点是除了第一个元素外，其他全部为0。这两个序列在信号处理中扮演着基础的角色，它们的关系可以通过改变序列位置来体现，如\( u[n-k] = u[m] \)当\( n-k = m \)。 课程还涵盖了线性、移不变、因果性和稳定性的概念，这是分析离散时间系统的重要属性。线性系统意味着系统的行为遵循叠加原理，移不变性则表明系统对信号的移动保持不变，而因果性意味着系统当前的输出只依赖于过去的输入，不依赖未来。系统的稳定性则是指系统在受到外部扰动后，输出不会无限制地增长，而在本例中，当输入为数字信号且系数\( a=0.100 \)，系统在无限精度下是稳定的，因为极点\( z=a \)位于单位圆内。 然而，有限精度条件下，如计算机处理中的舍入误差可能导致系统进入死区，即输出可能无法准确响应输入，特别是当输入接近零时。理解这种现象对确保数字信号处理系统的精确性和可靠性至关重要。 最后，课程涉及了常系数线性差分方程的求解以及连续时间信号的时域抽样，如奈奎斯特抽样定理。这些内容不仅理论性强，而且在实际信号处理中有着广泛的应用，例如信号恢复和采样理论，是理解和设计数字信号处理系统的基础。 程佩青教授的课件提供了一个全面的框架，让学生能够深入理解离散时间信号处理的核心概念和技术，这对于从事相关领域研究或工程实践的学生来说是一份宝贵的资源。