2019-2020算法期末试卷：基础题详解与时间复杂度分析

本资源是一份2019-2020学年第一学期算法基础期末试卷及答案，涉及多个知识点。以下是对各题目的详细解析： 1. (5分) 证明题：题目要求证明函数\( f(n) = 2^n \cdot n^2 \log_2{n} \)在\( n \geq 2 \)时的下界。首先，我们观察到\( f(n) \geq 2^n \cdot n^2 = 2^{n+2} \)因为\( \log_2{n} \geq 1 \)对于\( n \geq 2 \)成立。然后，这个不等式进一步简化为\( f(n) \geq 2^{n+2} = 2^2 \cdot 2^n = 2^2 \cdot g(n) \)，其中\( g(n) = 2^n \)。由于\( 2^2 = 4 > 0 \)，所以\( f(n) \geq 0 \)对于\( n \geq 2 \)成立。这表明存在\( c = 2 \)和\( n_0 = 2 \)，使得当\( n \geq n_0 \)时，\( f(n) \geq c \cdot g(n) \)恒成立，从而证明了\( f(n) \)是\( g(n) \)的上界，即\( f(n) = \Omega(g(n)) \)。 2. (5分) 选择题：二叉树查找问题中，根据题目描述，查找节点\( x \)的检索序列中的元素，比\( x \)大的是逆序，比\( x \)小的是顺序。选项c提供了符合这一特性的序列，其中元素103>95>XX>93或者78<83<XX<89<93，因此正确答案是c。 3. (5分) 选择题：该题考察查找最小值和最大值的算法复杂度。通过一次遍历比较，可以同时确定最小值和最大值，每对元素比较需要3次操作。如果元素个数为奇数，先比较一个元素，然后剩余\( n-1 \)对元素，总共需要\( (n-1)/2 \times 3 \)次比较，当\( n = 6 \)时，计算得到906次比较。所以，答案是b，即需要进行906次比较。 4. (5分) 主方法解答：递归式\( T(n) = 4n^3 + 5n \)中，\( a = 4 \), \( b = 3 \), 并且\( f(n) = 5n \)，由于\( \log_3{4} > 1 \)，符合主定理的第一种情况，说明随着\( n \)的增长，\( T(n) \)的增长速度与\( n \cdot \log_3{4} \)相似。因此，存在\( \epsilon > 0 \)，使得\( T(n) = O(n\log_3{4} - \epsilon) \)，进而\( T(n) = \Theta(n\log_3{4}) \)。 5. (5分) 证明题：\( T(n) = 2^n \)的复杂度为\( O(n) \)。方法一是通过归纳法证明，假设存在正常数\( c \)，满足对所有\( m < n \)，都有\( T(m) \leq c \cdot m \)。验证\( n=0 \)和\( n=1 \)的情况，然后寻找\( c \)的最小值以确保对所有\( n \)都成立。方法二是构建递归树分析，上界和下界的求解都指向\( T(n) \)是线性增长的。 这些题目涵盖了算法基础中的函数分析、数据结构（如二叉树）、递归算法复杂度分析以及归纳法证明等内容，有助于理解和掌握算法设计和分析的基本技巧。