接触非线性问题探索：从弹性力学到有限元分析

"有限元学习" 接触问题是非线性有限元分析中的一个重要方面，特别是在机械、土木、航空航天等工程领域中。《接触问题的提法》是高等工程力学系列教材的一部分，专注于解释如何处理物体相互接触时出现的复杂力学行为。这种行为涉及到材料的弹塑性变形、摩擦和滑移，这些问题在实际工程问题中非常常见，如结构连接、机械部件的磨损和装配等。 接触非线性问题源于边界条件的非线性，而不是本构方程或几何方程的非线性。主要表现为两个方面：一是接触表面的变化，即自由表面转化为接触面，反之亦然；二是接触面上的变形、摩擦和滑移。当荷载和位移变化时，接触表面可能在滑动和粘着状态间切换，滑动摩擦力也因此表现出非线性。例如，当两个物体接触并受到压力时，接触面可能会产生弹塑性变形，随着压力的增减，可能出现塑性卸载的情况。 有限元方法是解决这些问题的常用工具，它通过将复杂问题划分为许多简单的元素，然后对每个元素进行近似分析，最终组合成整个问题的解决方案。在处理接触问题时，通常需要引入接触单元来模拟两物体间的相互作用。接触单元能够描述接触面上的接触压力、摩擦力和可能的穿透情况，这要求在有限元模型中考虑额外的约束和边界条件。 在有限元学习的过程中，理解接触问题的提法至关重要。这包括学习如何定义接触边界，选择合适的接触算法（如罚函数法、混合方法、间隙函数法等），以及如何处理摩擦、塑性变形和滑移。此外，还涉及如何处理接触面上的非线性接触力，这些力可能与物体的应力-应变关系、材料属性和加载历史有关。 教材《线性与非线性有限元及应用》由郭乙木、陶伟明和庄茁编著，详细介绍了有限元方法的基础原理、基本方程和各种类型单元的应用，涵盖从二维、三维到轴对称问题，以及等参数单元和数值积分的细节。同时，书中还探讨了杆系、板壳结构的有限元分析，结构动力响应，以及非线性问题的解法，包括材料非线性和几何非线性。 在第8章《材料非线性》中，读者可以了解到非线性弹性和弹塑性的概念，以及单轴应力下的应力-应变关系。在第9章《几何非线性》中，讲解了小变形和大变形情况下的几何非线性问题，包括格林应变、阿尔曼西应变和不同坐标系下的应力张量。 最后，在第10章《接触与摩擦非线性》中，深入讨论了接触问题的建模方法，包括接触单元的选择和接触条件的设定，这些都是理解和解决实际工程问题的关键。通过学习这部分内容，工程师和学者能更好地处理实际工程中遇到的各种接触和摩擦非线性问题。