三维弹性力学解析解法：特征方程与多项式形式

本文主要探讨了一种求解三维弹性力学基本解析解的特征方程解法，发表于2012年，作者包括傅向荣、袁明武、岑松和田歌，他们分别来自中国农业大学土木水利学院、北京大学工学院、清华大学航天航空学院工程力学系以及高性能数值仿真中心。该研究的核心是利用三维问题控制微分方程的算子矩阵来推导特征方程，这是解决弹性力学问题的关键步骤。 特征方程解法是本文的核心技术，它通过计算算子矩阵的行列式来确定问题的特征通解，这是寻找解析解的基础。具体来说，论文提出了一种方法，能够得到满足不同简化特征方程的特征通解，如B-G解、修正的P-N(P-N-W)解和类胡海昌解。这些解是三维弹性力学问题的标准解，对于构建高性能有限元模型中的解析试函数至关重要。 在选择基本解析解作为试函数时，文章强调了线性独立性和完备性的原则，尤其是在二维问题中易于实现。然而，在三维问题中，由于复杂性增加，早期的通用通解如Boussinesq-Galerkin(B-G)解、Papkovich-Neuber(P-N)解、Teplyaev-Mikhailovich-Naghdidi-Hsu解虽然提供了通解的一般形式和完备性证明，但在具体选择表达式序列上仍存在挑战。 论文进一步讨论了各类多项式形式的基本解析解的独立性问题，这有助于确保在数值方法中使用的解析试函数是完整的且相互独立的，从而避免了可能的数值不稳定性和误差累积。这种工作对于提高有限元分析的精度和效率具有重要意义，因为它为构建高效、精确的数值模型提供了理论支持。 这篇文章为三维弹性力学问题的解析求解提供了一种新的有效方法，并对关键的特征方程和解析试函数的选择原则进行了深入探讨，这对于工程实践中的问题求解具有实际价值。