MATLAB回归分析：从线性到非线性

"该资源主要介绍了MATLAB统计工具箱中的回归分析命令，包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归和逐步回归。实验目的是理解回归分析的基本内容，掌握使用数学软件进行回归分析，并通过实例进行应用。" 回归分析是统计学中用于研究两个或多个变量之间关系的一种方法。在MATLAB中，统计工具箱提供了多种回归分析命令来帮助用户进行数据建模和预测。 1. **一元线性回归**：一元线性回归是研究两个变量之间的线性关系，通常表示为 \( y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \)，其中 \( y \) 是因变量，\( x \) 是自变量，\( \beta_0 \) 和 \( \beta_1 \) 是回归系数，而 \( \epsilon \) 是误差项。MATLAB中的`fitlm`函数可以用来拟合一元线性回归模型，同时可以进行参数估计、假设检验和预测。 2. **多元线性回归**：当存在两个或更多自变量时，我们使用多元线性回归。模型形式为 \( y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n + \epsilon \)。MATLAB的`fitlm`函数同样适用于多元线性回归，可以处理高维数据并进行多重共线性分析。 3. **非线性回归**：对于非线性的数据关系，如曲线拟合，可以使用MATLAB的`nlinfit`函数。用户需要提供一个非线性模型的函数形式，然后该函数会通过迭代优化找到最佳拟合参数。 4. **逐步回归**：逐步回归是一种选择变量的方法，它通过逐步增加或删除自变量来构建最优模型。MATLAB的`stepwiselm`函数可用于执行这种分析，根据统计显著性标准选择自变量。 回归分析的一个典型应用是在数据建模中，例如在上述例子中，研究成年女子的身高与腿长的关系。通过绘制散点图，我们可以直观看到数据的分布情况，然后使用线性回归模型来找出两者之间的数学关系。在MATLAB中，可以使用散点图函数`scatter`来绘制数据，`fitlm`或`nlinfit`进行模型拟合，最后通过`predict`函数进行预测。 在实际应用中，回归分析不仅可以估计模型参数，还可以进行残差分析以检查模型的适用性，以及通过假设检验来验证回归系数的显著性。此外，还可以利用置信区间进行预测，以评估预测结果的不确定性。MATLAB提供了丰富的统计函数和可视化工具，使得这些分析变得简单易行。 回归分析是数据分析和预测中的基础工具，尤其是在工程、社会科学、医学研究等领域有广泛应用。掌握MATLAB中的回归分析命令，能够帮助用户更有效地理解和探索数据，建立有价值的预测模型。