对称群作用下三阶常微分方程非可积性研究

本文主要探讨了常规三阶常微分方程在对称群作用下的可积性问题。通常情况下，对于这类方程，研究者会使用降阶或消元的方法来寻求其解或者判断其是否可积。然而，孙丹阳和盖如栋教授采取了一种创新的方法，他们并未依赖于传统的降阶处理，而是利用了对称群理论和Lie群的概念。 在数学中，Lie群是一种连续的群，特别适合于处理线性化问题和对称性。他们将三阶常微分方程视为Lie群上的作用，通过定义一个变换，使得方程组的每一个解都可以映射为另一个解。这种变换是通过对称群操作实现的，对称群是一组变换，它们保持方程的不变性，即在这些变换下，方程的形式不改变。 通过对微分方程在Lie群作用下的分析，他们能够找到一组生成元，这些生成元可以生成整个Lie群，并且通过它们的组合，可以得到首次积分。首次积分是指在求解微分方程过程中找到的独立变量，它提供了额外的常数，使得原微分方程可以通过分离变量或者代换等方法简化求解。 然而，经过深入研究，作者得出的结论是，常规的三阶常微分方程在对称群的作用下并非总是可积的。这拓宽了研究范围，因为通常可积性研究主要集中在二阶微分方程，而他们的工作扩展了这一领域，关注到了更高阶的方程。这一发现不仅挑战了现有理论，也为后续关于高阶微分方程的可积性研究提供了新的视角。 这篇文章的研究成果发表在《辽宁工程技术大学学报（自然科学版）》上，是2017年第2期，作者孙丹阳和盖如栋通过具体的数学计算和理论证明，得出了他们的核心结论，并提供了重要的数学工具——Lie群和对称群在处理三阶微分方程可积性问题中的应用。文章还被赋予了DOI号，方便读者查找和引用。 总结来说，这篇论文通过新颖的数学方法，揭示了常规三阶常微分方程在对称群作用下的不可积性，并且为该领域的理论研究开辟了新的路径，对微分方程理论的发展具有重要意义。