有限单元法详解：确定形函数的两步法

"该资源是关于有限单元法的课件，主要讲解了如何从公式出发确定形函数，并详细阐述了有限单元法的分析过程，包括结构物的离散、单元位移模式、单元特性分析、整体方程的建立以及程序设计与常用软件的介绍。" 在有限单元法中，形函数的确定是一个关键步骤。形函数是描述单元内任意点位移与节点位移之间关系的数学表达式，通常用于近似求解结构问题。在本资源的描述中，提到了一种两步法来确定形函数： 1. 首先，选择特定的变量，如描述节点自由度的位移参数，来构建形函数。这一步通常涉及到选择合适的基函数，例如线性、二次或高次多项式，这些函数在节点处满足边界条件。 2. 其次，利用线性变换关系，将第一步中基于特定变量的形函数转换为对应实际问题中需要的变量形式。这个过程可能涉及矩阵运算，目的是确保形函数在所有节点上的组合能够满足连续性和边界条件。 有限单元法分析过程分为以下几个阶段： 1. **结构物的离散**：结构被划分为多个有限单元，单元的大小和数量取决于所需的计算精度和计算能力。每个单元都有其独特的编号，并且需要建立一个合适的坐标系以便于分析。 2. **确定单元的位移模式**：定义单元内的位移函数，这些函数由形函数矩阵N表示，形函数的选取直接影响分析的精度和效率。每个点的位移可以表示为结点位移的线性组合。 3. **单元特性分析**： - **几何方程**：描述应变与位移的关系，通过变形矩阵B将位移转换为应变。 - **物理方程**：根据胡克定律，建立了应力与应变之间的关系，其中弹性矩阵S由材料的弹性常数决定。 - **单元刚度方程**：利用虚位移原理或最小势能原理，构建表示内部能量变化的单元刚度矩阵k。 4. **整体方程的建立**：将所有单元的刚度矩阵、结点力和位移组合成整体刚度矩阵K，以此建立整个结构的平衡方程，结合直接作用在节点上的荷载和等效荷载，求解节点位移。 5. **程序设计与常用软件**：介绍了有限元软件的分类，包括通用软件和专用软件，它们提供了方便的界面和功能，帮助用户进行有限元分析。 通过有限单元法，复杂的工程问题可以被转化为数值求解的线性或非线性方程组，从而找到结构的最优解。这种方法在土木工程、机械工程、航空航天等多个领域中广泛应用。