压缩感知：稀疏变换与信号重构

压缩感知是一种革命性的信号处理技术，它挑战了传统的采样理论，特别是在信号是稀疏或可压缩的情况下。这一理论的核心思想是，信号可以通过较少的线性测量来捕获其主要特征，而非全维度的采样。以下是对压缩感知过程的详细解释： 1. 信号稀疏变换：在压缩感知中，首先假设信号在变换空间（如正交基或紧框架）中的表示是稀疏的。这意味着信号可以用相对少量的非零系数来表示，即使在高维空间中也是如此。 2. 信号采样转换：通过特定的“感知”波形，也称为压缩传感波形，可以直接从信号中获取一组压缩数据。这种数据采样不再是传统意义上的物理采样，而是信息采样，关注的是信号的关键特性，而不是每个瞬时值。 3. 优化求解：由于观测数据不足（即欠定方程组），恢复原始信号需要解决一个优化问题，通常采用0-范数作为目标函数，寻找最稀疏的表示。这种方法允许找到最佳的信号重建，即使数据量远少于常规采样所需的数量。 4. 数学模型：压缩感知的数学模型建立在矩阵运算的基础上，如基矩阵A用于将信号从时域转换到变换域，而观测矩阵C则用于将变换系数映射到观测数据。通过非自适应观测，即信号与观测矩阵的乘积（ACS），可以得到压缩的观测集合，然后通过优化算法恢复信号。 5. 稀疏表示问题：关键在于信号的稀疏性，这是压缩感知得以有效运作的基础。一个信号被认为是稀疏的，如果它的变换系数分布在其支持集上的概率低，即大部分系数接近于零。 压缩感知不仅改变了信号处理领域的采样策略，还推动了高效数据压缩和恢复技术的发展，尤其适用于那些在变换域中具有明显结构的信号，如图像、音频和视频等。这种技术在无线通信、医学成像、遥感等领域展现了巨大潜力。