动态规划求解数字三角形最大和

"该资源是一个关于动态规划基础的讲解，主要通过解决‘数字三角形’问题来阐述动态规划的概念和应用。提供了C语言的参考程序，帮助理解动态规划的递归解法。" 动态规划是一种在计算机科学和数学中广泛使用的算法设计方法，尤其在优化问题和计算问题中。它通过将复杂问题分解为更小的子问题来求解，避免了重复计算，从而提高了解决问题的效率。 在这个问题中，我们面临的是一个数字三角形，目标是找到从顶部到底部的路径，使得路径上的数字之和最大。这个问题可以使用动态规划来解决，因为它满足最优子结构和重叠子问题两个关键特性。 首先，我们可以定义一个二维数组D[r][j]，表示到达数字三角形第r行第j列的最优路径的和。对于D[r][j]，我们可以有两种选择：要么从D[r+1][j]继续向下走，要么从D[r+1][j+1]向下走。我们需要比较这两个选择，选取和更大的那个。 在解题思路部分，提出了递归函数MaxSum(r, j)，其中r和j分别为当前行和列的索引。当r等于N（即到达最后一行）时，返回当前位置的数字D[r][j]，因为这是路径的结束。否则，计算从D[r+1][j]和D[r+1][j+1]出发的两种可能的最大和，然后返回较大的那个加上当前位置的数字D[r][j]。 参考程序I展示了如何实现这个递归过程。程序首先读取三角形的行数N和每个位置的数字，然后调用MaxSum(1, 1)来寻找起始于第一行第一列的最佳路径和。递归函数MaxSum通过计算和比较子问题的解来确定当前解。 在实际运行中，递归方法可能会导致大量的重复计算，特别是在处理较大规模问题时。为了优化，通常会使用记忆化搜索或自底向上的迭代方法来存储已解决的子问题结果，避免重复计算，提升性能。 这个资源通过一个具体的实例介绍了动态规划的基本思想，并提供了实现代码，对于理解和学习动态规划有很好的帮助。同时，这也是一道常见的ACM竞赛题目，有助于提升参赛者的问题解决能力和编程技巧。