线性系统理论：二阶系统四阶实现与代数等价性分析

"线性系统理论相关的第五次作业内容，涉及二阶系统传递函数的四阶实现、系统能控能观性的判断、基于传递函数的结构框图绘制、部分分式展开与系统状况分析，以及正定矩阵的性质证明，以及直升机纵向通道控制的降阶模型与稳定性分析。" 在本次作业中，首先探讨了一个二阶系统的四阶实现问题。给定的二阶系统传递函数被转换为特定形式，然后构建了两个四阶实现：一个为能控标准型，另一个为能观标准型。通过计算能控性和能观性判别阵，得出这两个四阶实现的能控能观性不同，因此它们不是代数等价的。 接着，作业介绍了如何基于传递函数构造系统的结构框图，并给出了具体例子。给定一个传递函数，通过状态空间表示法得到系统的行实现，并绘制了相应的结构框图，明确了输出为一的列向量。 第三部分讨论了部分分式展开在多变量系统中的应用。当传递函数矩阵不满秩时，系统可能存在无法控制或观测的状态，导致非最小实现。通过奇异值分解和酉矩阵，分析了系统实现的条件及其对控制系统的影响。 第四题证明了正定矩阵乘以正交矩阵仍为正定矩阵。利用正定矩阵的性质和线性代数中的基本定理，证明了对任意向量，其与矩阵的乘积仍然是正定的。 最后，作业涉及了直升机控制系统的纵向通道模型。通过状态方程和降阶过程，分析了该通道的控制器传递函数，确定了系统的稳定性，并展示了控制器的能控能观性。这有助于理解实际飞行控制系统的设计与分析。 这份作业深入浅出地涵盖了线性系统理论中的关键概念，包括系统实现、能控能观性、结构框图、部分分式展开和矩阵性质，以及实际工程应用中的控制问题。这些内容对于理解和掌握线性系统理论至关重要。