最小二乘法：物理实验中的数据拟合与参数估计

最小二乘法拟合原理是一种在统计学和工程领域广泛应用的优化技术，用于寻找一组最佳参数，使得实际观测数据点与理论模型之间的误差平方和最小。在物理实验和数据分析中，我们常常遇到这样的问题，即需要确定两个或多个变量之间的关系，而这种关系可能由已知函数或未知多项式表达。 首先，最小二乘法的基本前提是假设存在一个理论公式，例如y = f(x; c1, c2, ..., cm)，其中x是精度较高的量，y是带有误差的量，c1, c2, ..., cm是待定参数。在理想情况下，所有数据点应该精确地落在这条理论上。然而，在实际测量中，总会存在误差，所以我们不能直接通过解方程求得参数，而是需要通过曲线拟合的方法。 当观测数据点的数量N大于参数的数量m时，直接解方程组是不可行的。这时，我们寻求的是参数估计值，使得观测值yi偏离理论值f(x; ci)的平方和最小。这可以通过最小化似然函数L来实现，即找到使得[pic]达到最小值的参数C。在这个过程中，如果测量值的分布符合正态分布，最小二乘法与最大似然法等价，因为此时权重因子[pic]简化了优化过程。 具体来说，最小二乘法的数学表达式是通过以下方式得到的： [pic] 这给出了一个关于参数的方程组[pic]。解这个方程组，我们可以得到每个待定参数的估计值[pic]。这种方法的优势在于它易于计算，即使在实际测量误差复杂或者样本数量很大的情况下，也能提供相对可靠的参数估计。 最小二乘法拟合是一种强大的工具，它不仅适用于线性模型，也适用于非线性模型的参数估计，被广泛应用于各种科学实验、工程设计、机器学习等领域，特别是在信号处理、统计回归分析以及控制理论中，如PX4这样的飞行控制系统中，用于对传感器数据进行有效的模型校准和参数估计。