有限元法习题解答与方法解析

"该资源是有限单元法课程的课后习题解答，由王勖成编著。内容涉及如何在有限元分析中处理边界条件，以及配点法、子域法和伽辽金法等不同求解策略的应用。" 在有限单元法中，解决偏微分方程的问题时，确保边界条件的正确应用至关重要。习题1.2讨论了如何通过近似函数来满足边界条件，以减少误差。给定的近似函数为： \[ \phi = a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^3 \] 对于情况（1），应用边界条件 \( \phi(L) = 1 \)，我们可以得出： \[ a_3 = \frac{2}{3} \] 这个过程展示了如何利用强制边界条件来确定待定系数，从而使得近似解更准确地符合实际问题的需求。 接着，讨论了三种不同的求解方法： 1. **配点法**：这种方法要求残量 \( R(x) \) 在有限个点上严格等于零。在本例中，选取两个点 \( x = \frac{L}{3} \) 和 \( x = \frac{2L}{3} \)，使得 \( R(x) = 0 \)。通过解这个线性系统，我们可以找到 \( a_1 \) 和 \( a_2 \) 的值。 2. **子域法**：子域法要求在有限个子域 \( \Omega_i \) 内，残量的积分等于零。通过选取合适的子域，可以更好地适应解的局部变化。例如，可以选择两个子域 \( \Omega_1 = [0, \frac{L}{2}] \) 和 \( \Omega_2 = [\frac{L}{2}, L] \)，然后对每个子域内的残量积分为零，从而求解待定系数。 3. **伽辽金法**：这是一种加权余量法，其中权函数选择为插值函数 \( N_1 \) 和 \( N_2 \)。在本例中，权函数与近似函数相同，通过计算 \( R(x)N_i \) 的积分并使其等于零，可以找到 \( a_1 \) 和 \( a_2 \)。 这三种方法都是为了确保控制方程的残量在某种程度上在区域内或特定点上达到平衡，从而求得解的一致性和精确性。在实际工程问题中，有限单元法和这些求解策略的灵活运用是解决问题的关键步骤。剩余的边界条件处理方式与此类似，通过调整近似函数和选择合适的求解策略，可以找到满足所有边界条件的解。