MATLAB符号法与数值解：求解非线性方程的两种策略

本资源主要聚焦于计算方法在求解非线性方程中的应用，特别是针对 MATLAB 的符号法和数值解法。章节开始首先定义了非线性方程的概念，包括方程的形式（如 f(x)=0），其中的解即为 f(x)的零点，以及超越方程和代数方程的区别。超越方程通常由有限个指数、对数、三角、反三角或幂函数构成，而代数方程则是多项式形式，对于高次多项式（超过五次）往往难以通过代数方法求解，此时更倾向于使用数值方法。 MATLAB 的符号法部分介绍了一个重要的指令 `solve(s,’v’)`，用于求解非线性方程。`s` 参数代表待解的方程或函数，`v` 表示未知量，`z` 为方程的根。此方法适用于超越方程和代数方程，但并非所有方程都能直接通过这个指令找到精确解，某些情况可能需要数值算法来逼近解。 数值解的基本方法包括： 1. 二分法：当函数在区间 [a, b] 内单调且连续，且方程在该区间内只有一个实根时，二分法能够确定根的位置。通过不断取区间的中点并检查函数值的符号，逐步缩小根所在的区间。 2. 迭代法：这是一种通过不断逼近的方法，通过初始猜测值反复计算函数值，直到达到预设精度或满足特定条件。 3. 切线法：利用函数在某点的切线与 x 轴交点作为新近似解，重复此过程。 4. 割线法：类似切线法，但使用割线代替切线，通过两个近似解之间的直线与 x 轴交点来逼近根。 这些数值方法在实际问题中更为实用，因为它们能够处理复杂的方程，即使无法得到精确解也能得到良好的近似解。在实践中，用户可能需要结合这些方法，如在 ex4_1 练习中所示，求解具体方程并控制结果的精度。 本资源的核心内容是教授如何使用 MATLAB 的符号法和数值解法来求解非线性方程，强调了不同情况下的选择和应用策略。这对于理解和解决实际的非线性问题具有重要意义。