3D刚体运动与李群李代数关系解析-计算机视觉中的应用

"这篇资料是关于李群与李代数在计算机视觉中的应用，特别是3D刚体运动表示和SLAM问题的讨论。由王京在2016年整理的笔记，经过多次修订和完善，详细介绍了相关概念和数学关系。" 在计算机视觉领域，李群和李代数是描述3D刚体运动的重要数学工具。李群是一类具有乘法结构的连续群，而李代数则是李群的切空间，是李群元素微小变化的线性近似。在3D空间中，刚体的旋转通常用SO(3)群表示，平移则用SE(3)群表示，它们的李代数分别为so(3)和se(3)。 1. 3D刚体运动的表示： - 3D旋转可以通过欧拉角、四元数或旋转矩阵来描述。旋转矩阵R确保了向量在旋转后仍保持长度不变，即RR^T=I，其中I是单位矩阵。 - 刚体的平移可以用一个3维向量t来表示，结合旋转R，形成SE(3)群的元素，即[R|t]。 2. 李群与李代数的关系： - SO(3)群的元素是3x3的正交矩阵，其对应的李代数so(3)由3x3的反对称矩阵组成。从李代数到李群的指数映射exp将反对称矩阵映射为旋转矩阵。 - SE(3)群的元素是4x4的齐次变换矩阵，包含旋转R和平移t。其李代数se(3)也是4x4的矩阵，前3x3部分是反对称矩阵对应so(3)，后面的3列是平移向量。 3. 李群的增量和导数表示： - 在李群中，两个相邻的元素之间的微小变化可以表示为李代数元素的微小变化，通过李群的左乘或右乘来描述。 - 导数描述了刚体运动参数的变化率，例如，对于3D旋转，角速度向量可以看作是旋转矩阵对时间的导数。 4. 李群在视觉SLAM中的应用： - 重投影误差的导数计算是SLAM优化的关键，它涉及到相机姿态和特征点位置的估计。 - 光束平差法（BA）通过最小化所有观测到的重投影误差来优化相机轨迹和3D点云。 - 利用最小化重投影误差可以求解相似变换，实现图像对之间的配准。 - 光测量误差的最小化则涉及到了图像像素级别的亮度一致性，用于改进场景重建的质量。 这些理论和技术在机器人定位、导航、图像配准和3D重建等任务中发挥着重要作用，是现代计算机视觉和机器人学的基石。这份笔记详尽地梳理了相关数学概念，对理解和应用李群与李代数提供了宝贵的参考。