"这篇资料是关于李群与李代数在计算机视觉中的应用,特别是3D刚体运动表示和SLAM问题的讨论。由王京在2016年整理的笔记,经过多次修订和完善,详细介绍了相关概念和数学关系。"
在计算机视觉领域,李群和李代数是描述3D刚体运动的重要数学工具。李群是一类具有乘法结构的连续群,而李代数则是李群的切空间,是李群元素微小变化的线性近似。在3D空间中,刚体的旋转通常用SO(3)群表示,平移则用SE(3)群表示,它们的李代数分别为so(3)和se(3)。
1. 3D刚体运动的表示:
- 3D旋转可以通过欧拉角、四元数或旋转矩阵来描述。旋转矩阵R确保了向量在旋转后仍保持长度不变,即RR^T=I,其中I是单位矩阵。
- 刚体的平移可以用一个3维向量t来表示,结合旋转R,形成SE(3)群的元素,即[R|t]。
2. 李群与李代数的关系:
- SO(3)群的元素是3x3的正交矩阵,其对应的李代数so(3)由3x3的反对称矩阵组成。从李代数到李群的指数映射exp将反对称矩阵映射为旋转矩阵。
- SE(3)群的元素是4x4的齐次变换矩阵,包含旋转R和平移t。其李代数se(3)也是4x4的矩阵,前3x3部分是反对称矩阵对应so(3),后面的3列是平移向量。
3. 李群的增量和导数表示:
- 在李群中,两个相邻的元素之间的微小变化可以表示为李代数元素的微小变化,通过李群的左乘或右乘来描述。
- 导数描述了刚体运动参数的变化率,例如,对于3D旋转,角速度向量可以看作是旋转矩阵对时间的导数。
4. 李群在视觉SLAM中的应用:
- 重投影误差的导数计算是SLAM优化的关键,它涉及到相机姿态和特征点位置的估计。
- 光束平差法(BA)通过最小化所有观测到的重投影误差来优化相机轨迹和3D点云。
- 利用最小化重投影误差可以求解相似变换,实现图像对之间的配准。
- 光测量误差的最小化则涉及到了图像像素级别的亮度一致性,用于改进场景重建的质量。
这些理论和技术在机器人定位、导航、图像配准和3D重建等任务中发挥着重要作用,是现代计算机视觉和机器人学的基石。这份笔记详尽地梳理了相关数学概念,对理解和应用李群与李代数提供了宝贵的参考。