线性规划解题指南：图解法与单纯形法应用

"39022-实用运筹学：案例、方法及应用-课后习题答案1" 本文档提供了实用运筹学课程中关于线性规划的多个练习题及其解答，主要涉及如何运用图解法和单纯形法解决线性规划问题，以及将线性规划模型转化为标准形式。 线性规划是运筹学中的基础概念，主要用于优化含有线性关系的决策问题。在第一章中，我们看到三个关于线性规划的问题： 1. 题目未给出完整信息，但指出通过图形可以得出最优解。线性规划问题通常通过绘制可行域并找到使目标函数达到最大或最小值的点来解决。 2. 提供了一个最小化问题 Min z = 2x1 + x2，通过图形求解，得到最优解 x = 1.6, y = 6.4。这表明在二维空间中，找到了一个点使得目标函数值最小。 3. 同样是一个最大化问题 Max z = 5x1 + 6x2，但没有提供完整的解答。通常，解决这类问题也需要画出可行域并找到目标函数的最大值点。 线性规划的标准形式包括：最大化或最小化一个线性目标函数，同时满足一组线性不等式约束。若原问题不符合标准形式，需要引入松弛变量、剩余变量或对偶变量来转化。例如： 6. 提到将 Min z = x1 - 2x2 + 3x3 转化为标准形式，通过引入松弛变量 x40 和剩余变量 x50，以及将 x3 表示为 x3' - x3''，其中 x3', x3'' 都是非负的。 7. 将 Min Z = x1 + 2x2 + 3x3 转化为标准形式，引入松弛变量和剩余变量，得到一个负目标函数的等价标准形式。 单纯形法是一种解决线性规划问题的有效算法，它通过迭代找到最优解。例如： 9. 展示了使用单纯形法解决 Max Z = 70x1 + 120x2 的过程，通过构建单纯形表，计算各个基变量的入基和出基，逐步优化解直到找到最优解。 11. 和 12. 给出了更复杂的线性规划问题，同样需要转化为标准形式并应用单纯形法求解。这些题目涉及到引入松弛变量、计算系数ρ和θ，以及确定换入和换出变量，以迭代优化解。 通过这些习题，学习者可以加深对线性规划理论的理解，掌握如何用图解法和单纯形法求解实际问题。这些技能在物流、生产计划、资源分配等领域有广泛应用。