使用Crank-Nicolson方法求解热传导问题

"Crank_Nicolson1.pdf" 本文档主要介绍了Crank-Nicolson方法，这是一种数值积分方法，常用于解决偏微分方程，尤其是热传导方程（也称为热方程）的时间离散化。Crank-Nicolson方法结合了前向欧拉方法和 backward Euler 方法的优点，它在时间和空间上都是二阶精度，因此能够提供更稳定且精确的解决方案。 在给出的代码中，我们首先看到导入了`numpy`和`matplotlib.pyplot`库，这两个库分别用于数值计算和数据可视化。接着，定义了一个名为`Crank_Nicolson`的函数，该函数接受参数`All_T`（所有时间步长的温度数组）、`m`（空间网格点数量）、`n`（时间步长数量）以及`u`（热扩散系数）。 在函数内部，首先初始化了系数矩阵`C`、上对角元素`a`、主对角元素`b`和下对角元素`c`。这些矩阵和向量用于构建三对角线性系统，该系统描述了Crank-Nicolson方法下的温度分布更新规则。`a`和`c`包含了边界条件的影响，而`b`则是系数矩阵的主要对角线元素。 接下来，定义了一个名为`thomas_algorithm`的函数，该函数使用Thomas算法来求解三对角线性系统。Thomas算法是一种高效的算法，用于求解这类具有特定结构的线性系统。在每次时间步长迭代中，该算法被用来计算新的温度分布。 文档还提到了一些关键的物理参数，如热扩散系数`thermal_diffusivity`（在这里设为0.1），墙厚`Wall_thick`（1个单位），时间点`t_points`，空间步长`dx`（0.05个单位），以及时间步长的候选值`dts`。此外，初始温度`T_initial`设置为100，侧面边界温度`T_side`设置为300。 最后，定义了一个`Plotting`函数，用于绘制和保存温度分布图像，其中`method`表示使用的数值方法，`label`是图例标签，`grid`是温度数据，`tpoints`是时间点，`show='T'`表明显示的是温度。 总结来说，这个文档通过Python代码展示了如何使用Crank-Nicolson方法和Thomas算法求解热传导方程，并进行数值模拟。通过这些工具，可以计算和可视化温度在不同时间和空间位置的分布情况，从而理解和分析热传播的过程。