图像变换原理：傅里叶、沃尔什与哈达码

"本课程件主要讲解了图像处理中的各种变换技术，包括傅里叶变换、沃尔什和哈达码变换、离散余弦变换以及霍特林变换。重点介绍了傅里叶变换的原理和应用，特别是对于具有可分离和对称变换核的2-D图像变换，以及正变换和反变换的计算过程。" 在图像处理领域，图像变换是一种重要的技术，它将图像从原始的空间域转换到其他特定的频域或特征域，以便于分析和处理。这种转换可以分为正变换和反变换。正变换是从图像空间转换到其他空间，而反变换则是从其他空间转换回图像空间。在本课程件中，特别强调了正交变换，这类变换有很好的数学特性，例如傅里叶变换。 傅里叶变换是一种广泛应用的正交变换，它可以将2-D图像分解为不同频率的成分。对于具有可分离和对称变换核的2-D傅里叶变换，计算过程可以简化为两个1-D变换的组合。首先，沿着图像的每一列进行1-D变换，然后再沿着变换结果的每一行进行1-D变换。这是因为变换核可以分解为两个独立的1-D核，分别对应于x和y轴。正变换核h(x,y,u,v)和反变换核k(x,y,u,v)是可分离且对称的，这使得变换可以用矩阵形式表示，其中正变换矩阵A的逆矩阵B用于反变换，即B=A^(-1)。 1-D傅里叶变换是对一个序列进行的，如f(x)，其结果是频谱F(u)，通过指数函数的复数形式表示，包含了幅度和相位信息。对于离散情况，1-D傅里叶变换可以表示为一系列cos和sin函数的线性组合，即傅里叶系数。 除了傅里叶变换，课程还提到了沃尔什和哈达码变换、离散余弦变换以及霍特林变换。这些变换各有特点，适应不同的图像处理需求，比如沃尔什和哈达码变换在编码和信号分析中有特殊优势，离散余弦变换在图像压缩中表现出色，而霍特林变换则在处理二进制数据时有其独特作用。 图像变换是图像处理的基础，通过对图像进行适当的变换，可以有效地提取图像特征，去除噪声，进行压缩，以及实现其他各种图像处理任务。这个课件深入浅出地介绍了这些重要变换的概念和计算方法，对于理解和应用图像处理技术具有很高的价值。