同伦内点法解决无界非凸集不动点问题的全局收敛性

"同伦内点方法求解一类无界非凸集合上的不动点问题 (2011年)，作者：苏孟龙、赵立芹、吕显瑞，发表于《吉林大学学报（理学版）》第49卷第5期。该论文提出了一种解决无界非凸集上不动点问题的新方法——同伦内点方法，通过自映射Φ(x)和约束函数的梯度构建无界性条件，证明了不动点的存在性和同伦内点方法的全局收敛性。关键词包括：同伦内点方法、无界非凸集、全局收敛性。" 本文研究的是在无界非凸集合上求解不动点问题的算法设计与分析。不动点问题是许多优化问题的核心，特别是在数学、计算机科学和工程领域有广泛应用。传统的内点方法通常用于解决凸优化问题，但在处理非凸问题时可能会遇到挑战，尤其是当问题的定义域是无界的。 同伦内点方法是作者提出的一种新的求解策略，它结合了同伦理论（一种研究拓扑空间连续变化的数学分支）和内点法的优点。内点法是一种迭代算法，它通过逐步逼近问题的可行域边界来找到解，而同伦概念则允许在解的搜索过程中平滑地改变问题的性质。 在论文中，作者首先引入了一个自映射Φ(x)，这个映射可以将问题转化为一系列与原问题相关的更简单的子问题。然后，通过分析约束函数的梯度，他们构造了一组无界性条件，这些条件确保了解的存在性，并能指导迭代过程的方向。这一步是关键，因为它克服了非凸性和无界性带来的困难。 接着，论文提供了一个不动点存在的构造性证明。这个证明可能涉及迭代序列的构造，以及证明这些序列会收敛到不动点。此外，作者还证明了所提出的同伦内点方法具有全局收敛性，这意味着无论初始点位于何处，算法都能保证找到至少一个不动点。这对于实际应用来说是非常重要的，因为它避免了局部最优解的陷阱。 全局收敛性的证明通常基于算法的迭代步骤设计和某些性质（如迭代函数的连续性和下降性）来完成。作者可能通过分析算法的每一步迭代如何影响解的质量，以及如何保证每次迭代都在向不动点靠近，来展示其全局收敛性。 这篇论文对解决无界非凸集上的不动点问题提供了一种创新的数值方法，对于理论研究和实际应用都有重要价值。同伦内点方法的提出，不仅扩展了内点方法的应用范围，也为解决更复杂优化问题提供了新的思路。