MATLAB矩阵运算详解：加减乘法与转置

"本资源是MATLAB使用手册的第三章，主要讲解了矩阵运算，包括加法、减法、乘法、除法、转置共轭以及元素操作。手册特别指出MATLAB学生版中矩阵元素数量的限制，并介绍了各种运算符的使用方法。" 在MATLAB中，矩阵运算是其核心功能之一，它允许直接对矩阵进行多种算术运算。本章节详细阐述了这些运算： 1. **加法和减法**：当两个矩阵`A`和`B`的维数相同时，可以执行加法`A + B`和减法`A - B`，每个元素对应相加或相减。此外，矩阵也可以与标量（1×1矩阵）进行加减，结果矩阵的元素会分别加上或减去该标量。 例如： ```matlab A = [1 2; 3 4]; B = [5 6; 7 8]; Add = A + B; Sub = A - B; Add100 = A + 100; % 将100加到每个元素上 ``` 2. **乘法**：矩阵乘法`C = A * B`要求`A`的列数等于`B`的行数。若不满足，MATLAB将报错，除非其中一个矩阵是标量。乘法的结果`C`的行数与`A`相同，列数与`B`相同，元素`cij`是`A`的第`i`行和`B`的第`j`列的点积。 例如： ```matlab A = [1 2; 3 4]; B = [5 6; 7 8]; MultAB = A * B; % 通常矩阵乘法 MultBA = B * A; % 方阵的乘法可能与前者不同 ``` 3. **转置和共轭**：MATLAB提供了转置运算符`'`（单引号）和共轭转置运算符`.'`（点号后跟单引号）。转置`A'`将矩阵`A`的行变成列，而共轭转置`A.'`则同时执行转置和复数共轭。 4. **除法和求幂**：MATLAB支持矩阵除法`A \ B`（左除）和`B / A`（右除），以及矩阵的指数运算`A^B`。除法运算符`/`和`\`处理线性方程组，而指数运算符`^`适用于幂运算。 5. **有理数运算符**：MATLAB支持分数形式的运算，可以通过`rat`函数将浮点数转换为分数形式。 6. **逻辑运算符**：包括`&`（逻辑与）、`|`（逻辑或）、`~`（逻辑非）等，可以对矩阵的每个元素进行逻辑运算。 7. **点积**：点积`dot(x, y)`计算两个向量`x`和`y`的标量积，如果`A`和`B`是同维度矩阵，则`dot(A, B)`得到一个行向量，其元素是两矩阵对应列的点积。 注意，MATLAB学生版中矩阵的元素总数不能超过16384。此外，一些函数只适用于二维矩阵，而某些特定的矩阵运算（如矩阵乘法）对矩阵的形状有特定要求。 通过以上介绍，我们可以更深入地理解MATLAB中矩阵运算的概念和操作，这在实际编程和问题解决中是非常重要的。掌握这些基本操作，能够帮助我们更高效地利用MATLAB进行数值计算和数据分析。