单调多边形三角剖分：O(nlogn)算法详解

"本文主要介绍了计算几何中的一个关键问题——单调多边形的三角剖分。在计算几何中，三角剖分是将一个多边形分割成一系列互不重叠的三角形的过程，这对于图形处理、GIS（地理信息系统）等领域有着广泛应用。文章详细阐述了一个在O(nlogn)时间内完成对包含n个顶点的简单多边形三角剖分的算法，特别是对于y-单调的多边形，可以在线性时间内进行三角剖分。" 在计算几何中，多边形三角剖分是一个基础且重要的问题，它有助于简化复杂的形状并用于各种图形处理任务，例如渲染、物理模拟和路径规划。在本文中，作者首先提到的是单调多边形的定义，即所有边沿y轴方向严格单调递增或递减的多边形，不含水平边。这种类型的多边形在三角剖分时具有特殊优势，因为它们的边界可以被轻易地分为两个单调链。 对于严格y-单调的多边形，三角剖分的过程可以通过一种贪婪算法实现。这个算法按照顶点的y坐标递减顺序处理，当有多个顶点y坐标相等时，选择靠左的顶点优先。辅助数据结构是一个栈S，它保存了可以生成更多对角线的未处理顶点。在处理每个顶点时，尽可能地在其与栈中顶点间引入对角线，形成三角形，从而逐步剖分多边形。 算法的效率分析指出，构建优先队列和平衡查找树的操作时间复杂度为O(logn)，而对角线的插入为O(1)。因此，每次事件（顶点处理）的时间复杂度为O(logn)，总时间复杂度为O(nlogn)。结合引理3.5，可以证明在O(n)的空间复杂度下，能在O(nlogn)时间内完成对包含n个顶点的简单多边形的三角剖分。 这个算法的改进之处在于，相比早期需要平方时间复杂度的算法，它显著提升了效率。这在处理大规模数据时尤其重要，尤其是在GIS系统中，快速的三角剖分能够加速地形分析、地图绘制等任务。 此外，文章还提到了计算几何的其他主题，如线段求交、多边形的单调块划分、线性规划、区域查找、点定位、Voronoi图和Delaunay三角剖分等，这些都是计算几何领域的核心概念，广泛应用于图形学、地理信息系统、数据库查询优化等多个领域。 单调多边形的三角剖分是一个高效且实用的几何算法，它在理解复杂几何形状、优化计算效率和提供高质量图形服务方面起着关键作用。通过不断研究和优化这类算法，我们可以期待在未来的计算几何和相关领域中实现更高效的解决方案。