MQ拟插值法：空间分数阶扩散方程的高效数值解

本文主要探讨了空间分数阶扩散方程的一种新颖数值解法，即基于Multiquadric (MQ)拟插值算子的算法。MQ函数是一种径向基函数，因其简洁性、精确性和多维扩展性而被广泛应用于插值问题中。作者首先在散落的数据点上利用MQ函数的平移特性构建了一个拟插值算子。 拟插值算子在文中被重点分析，其关键特性包括再生性、保形性和对分数阶导数的收敛性。再生性意味着该算子能够生成更高阶的多项式，这对于保持局部解析性至关重要；保形性则确保了拟插值函数在保持几何形状方面的能力，这对于处理复杂几何形状的问题尤其有用。对于分数阶导数的收敛性，表明该方法对于处理非整数阶的微分方程有良好的适应性。 通过将MQ拟插值算子与不同的时间差分格式相结合，如Crank-Nicolson格式和向后Euler格式，作者构建了一种针对空间分数阶扩散方程的数值计算格式。这两种时间步长下的精度分析显示，当使用Crank-Nicolson格式时，精度达到O(Δt^2 + h^4 - a)，而使用向后Euler格式时，精度为O(Δt + h^4 - a)，其中Δt表示时间步长，h表示空间步长。这些结果表明MQ拟插值方法在构建数值格式方面展现出高效和精确的优势。 文章强调了MQ拟插值方法在解决非均匀数据问题中的应用潜力，尤其是在处理高维和复杂几何问题时，它提供了有效的工具。尽管插值在大量数据下可能出现病态问题，但拟插值通过克服这些问题，结合MQ函数的优点，为数值计算提供了一种稳健且性能优良的方法。 这篇文章的主要贡献在于提出了一种新颖的空间分数阶扩散方程数值解法，通过MQ拟插值算子的运用，有效地提高了计算精度和稳定性，这在当前的数值计算领域具有重要的理论和实际价值。