皮尔逊相关系数：衡量双变量正态分布线性关系

"这篇资料介绍了如何使用Pearson相关系数来分析双变量正态分布的数据，以及如何在MATLAB中实现该计算。" 在统计学中，Pearson相关系数是一种广泛使用的测量两个定量变量间线性关系强度和方向的指标。这个系数由卡尔·皮尔逊在20世纪提出，也被称为积矩相关系数。当两个变量X和Y具有正态分布并且它们的关系是线性的，Pearson相关系数就特别适用。它的值范围在-1到1之间，其中： - 如果相关系数为1，表示X和Y之间存在完美的正相关，即一个变量增加时，另一个变量也会按比例增加。 - 如果相关系数为-1，表示存在完美的负相关，即一个变量增加时，另一个变量按比例减少。 - 当相关系数为0时，意味着X和Y之间不存在线性关系。 计算Pearson相关系数的公式可以有几种形式，但本质上都是基于变量的均值、协方差和标准差。一个常见的计算公式是： \[ r = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sqrt{\sum{(x_i - \bar{x})^2\sum{(y_i - \bar{y})^2}}}} \] 其中，\( x_i \) 和 \( y_i \) 是成对的观测值，\( \bar{x} \) 和 \( \bar{y} \) 分别是X和Y的样本均值，\( \sum \) 表示求和，而 \( n \) 是观测值的数量。 在实际应用中，进行相关分析时，通常会配合散点图来直观展示两个变量之间的关系。如果点大致沿一条直线分布，那么可能存在显著的线性关系。相关系数的绝对值大小可帮助我们评估这种关系的强度： - 相关系数在0.8-1.0之间表示极强相关； - 0.6-0.8之间表示强相关； - 0.4-0.6表示中等程度相关； - 0.2-0.4表示弱相关； - 0.0-0.2之间或接近0表示极弱相关或无相关。 在MATLAB中，计算Pearson相关系数可以使用内置的`corrcoef`函数，或者如上述代码所示，根据公式自定义函数`myPearson`实现。自定义函数的基本思路是先计算两个序列的均值、标准差和协方差，然后代入公式计算相关系数。例如，如果有一个变量X和变量Y的数值序列，可以调用`myPearson(X,Y)`来得到它们的相关系数。 Pearson相关系数是研究两个定量变量间关系的重要工具，尤其适用于双变量正态分布的数据。正确理解和应用这个系数可以帮助我们识别和量化变量间的线性关联，从而为数据分析和决策提供有价值的信息。